# Квадратний корiнь та його основнi властивостi

 Визначення **Квадратним коренем числа $$a$$** називають число $$b$$, таке, що $$b^2=a.$$

Наприклад: квадратним коренем числа $$225$$ є числа $$15$$ та $$-15$$, тому що $$(\pm 15)^2=225$$.

 Визначення **Арифметичним квадратним коренем числа $$a$$** називають невід’ємне число, квадрат якого рівний невід’ємному числу $$a$$. Це число позначається $$\sqrt{a}$$.

Наприклад: $$\sqrt{64}=8$$. Вираз $$\sqrt{-15}$$ не має сенсу.

Знак кореня $$\sqrt{\color{white} a}$$ **називають радикалом**, число $$a$$ — **підкореневим виразом**.

Інший варіант запису квадратного кореня – через **дробний степінь** $$\dfrac{1}{2}$$: $$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$$. Саме з цього випливають основні властивості кореня – вони такі ж самі, як і у степеневих виразів.

**Основні властивості квадратного кореня:**

* $$\sqrt{a^2}=|a|, a \in \mathbb{R}.$$

  Наприклад: $$\sqrt{15^2}=15.$$
* $$(\sqrt{a})^2=a.$$

  Наприклад: $$\sqrt{(-15)^2}=15, (\sqrt{15})^2=15.$$
* $$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}.$$

  Наприклад: $$\sqrt{15}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}.$$
* $$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}, a\geq0, b\geq0.$$

  Наприклад: $$\sqrt{15}=\dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt2}.$$
* $$b\sqrt a = \begin{cases} \sqrt{b^2a}, b\geq0;\\\ -\sqrt{b^2a}, b\leq0. \end{cases}$$

  Наприклад: $$2\sqrt{15}=\sqrt{60}; -2\sqrt{15}=-\sqrt{60}.$$
* $$\sqrt{b^2a}=|b|\sqrt{a}.$$

  Наприклад: $$\sqrt{90}=3\sqrt{10}.$$

**ОДЗ для підкореневого виразу** $$\sqrt{a}$$: $$a\geq0$$

Спростіть вираз: $$\sqrt{72}$$ $$3\sqrt{4}3$$ $$6\sqrt{2}$$ $$2\sqrt{16}$$ $$4\sqrt{3}$$

Спростіть вираз: $$\sqrt{a^5}$$ $$a^2\sqrt{a}$$ $$a^2$$ $$a^3\sqrt{a}$$ $$\sqrt{a}$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/drobovo-ratsionalni_virazi/kvadratnii_korin_ta_iogo_osnovni_vlastivosti.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.