> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://math.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://math.ed-era.com/drobovo-ratsionalni_virazi/kvadratnii_korin_ta_iogo_osnovni_vlastivosti.md).

# Квадратний корiнь та його основнi властивостi

 Визначення **Квадратним коренем числа $$a$$** називають число $$b$$, таке, що $$b^2=a.$$

Наприклад: квадратним коренем числа $$225$$ є числа $$15$$ та $$-15$$, тому що $$(\pm 15)^2=225$$.

 Визначення **Арифметичним квадратним коренем числа $$a$$** називають невід’ємне число, квадрат якого рівний невід’ємному числу $$a$$. Це число позначається $$\sqrt{a}$$.

Наприклад: $$\sqrt{64}=8$$. Вираз $$\sqrt{-15}$$ не має сенсу.

Знак кореня $$\sqrt{\color{white} a}$$ **називають радикалом**, число $$a$$ — **підкореневим виразом**.

Інший варіант запису квадратного кореня – через **дробний степінь** $$\dfrac{1}{2}$$: $$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$$. Саме з цього випливають основні властивості кореня – вони такі ж самі, як і у степеневих виразів.

**Основні властивості квадратного кореня:**

* $$\sqrt{a^2}=|a|, a \in \mathbb{R}.$$

  Наприклад: $$\sqrt{15^2}=15.$$
* $$(\sqrt{a})^2=a.$$

  Наприклад: $$\sqrt{(-15)^2}=15, (\sqrt{15})^2=15.$$
* $$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}.$$

  Наприклад: $$\sqrt{15}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}.$$
* $$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}, a\geq0, b\geq0.$$

  Наприклад: $$\sqrt{15}=\dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt2}.$$
* $$b\sqrt a = \begin{cases} \sqrt{b^2a}, b\geq0;\\\ -\sqrt{b^2a}, b\leq0. \end{cases}$$

  Наприклад: $$2\sqrt{15}=\sqrt{60}; -2\sqrt{15}=-\sqrt{60}.$$
* $$\sqrt{b^2a}=|b|\sqrt{a}.$$

  Наприклад: $$\sqrt{90}=3\sqrt{10}.$$

**ОДЗ для підкореневого виразу** $$\sqrt{a}$$: $$a\geq0$$

Спростіть вираз: $$\sqrt{72}$$ $$3\sqrt{4}3$$ $$6\sqrt{2}$$ $$2\sqrt{16}$$ $$4\sqrt{3}$$

Спростіть вираз: $$\sqrt{a^5}$$ $$a^2\sqrt{a}$$ $$a^2$$ $$a^3\sqrt{a}$$ $$\sqrt{a}$$