Квадратний корiнь та його основнi властивостi
Визначення Квадратним коренем числа $a$ називають число $b$, таке, що $b^2=a.$
Наприклад: квадратним коренем числа $225$ є числа $15$ та $-15$, тому що $(\pm 15)^2=225$.
Визначення Арифметичним квадратним коренем числа $a$ називають невід’ємне число, квадрат якого рівний невід’ємному числу $a$. Це число позначається $\sqrt{a}$.
Наприклад: $\sqrt{64}=8$. Вираз $\sqrt{-15}$ не має сенсу.
Знак кореня $\sqrt{\color{white} a}$ називають радикалом, число $a$ — підкореневим виразом.
Інший варіант запису квадратного кореня – через дробний степінь $\dfrac{1}{2}$: $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$. Саме з цього випливають основні властивості кореня – вони такі ж самі, як і у степеневих виразів.
Основні властивості квадратного кореня:
  • $\sqrt{a^2}=|a|, a \in \mathbb{R}.$
    Наприклад: $\sqrt{15^2}=15.$
  • $(\sqrt{a})^2=a.$
    Наприклад: $\sqrt{(-15)^2}=15, (\sqrt{15})^2=15.$
  • $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}.$
    Наприклад: $\sqrt{15}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}.$
  • $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}, a\geq0, b\geq0.$
    Наприклад: $\sqrt{15}=\dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt2}.$
  • $b\sqrt a = \begin{cases} \sqrt{b^2a}, b\geq0;\\ -\sqrt{b^2a}, b\leq0. \end{cases}$
    Наприклад: $2\sqrt{15}=\sqrt{60}; -2\sqrt{15}=-\sqrt{60}.$
  • $\sqrt{b^2a}=|b|\sqrt{a}.$
    Наприклад: $\sqrt{90}=3\sqrt{10}.$
ОДЗ для підкореневого виразу $\sqrt{a}$: $a\geq0$
Спростіть вираз: $\sqrt{72}$ $3\sqrt{4}3$ $6\sqrt{2}$ $2\sqrt{16}$ $4\sqrt{3}$
Спростіть вираз: $\sqrt{a^5}$ $a^2\sqrt{a}$ $a^2$ $a^3\sqrt{a}$ $\sqrt{a}$
Copy link