Математика: арифметика, рівняння та нерівності
  • Зміст
  • Вступне слово
  • Арифметика
    • Прості та складені числа
    • Ознаки подiльностi натуральних чисел
    • Дроби та дiї над ними
    • Модуль числа
  • Пропорції та відсотки
    • Відсотки
    • Розв’язання задач на спiльну виконану роботу (задачi на продуктивнiсть)
  • Одночлени та многочлени
    • Одночлен
    • Многочлен
    • Дiї над многочленами
    • Формули скороченого множення
    • Розкладання многочлена на множники
    • Бiном Ньютона
  • Корiнь та його властивостi
    • Квадратний корiнь та його основнi властивостi
    • Корінь n-го степеня та його основні властивості
    • Ірраціональні вирази
      • Доповнюючий множник
      • Звiльнення вiд iррацiональностi у знаменнику (чисельнику) iррацiонального дробу
      • Доповнюючi множники для основних типiв iррацiональностей у знаменнику (чисельнику)
    • Додаток
  • Показниковi та логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифм
    • Логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифмування та потенцiювання
  • Системи алгебраїчних рiвнянь
    • Метод підстановки
    • Метод алгебраїчного додавання
    • Метод заміни змінної
  • Лiнiйнi та квадратнi рiвняння
    • Лiнiйнi рiвняння
    • Квадратнi рiвняння
      • Неповні квадратні рівняння
      • Повне квадратне рівняння та дискримiнант
      • Факторизація квадратного рівняння (розкладання на множники)
      • Теорема Вiєта
    • Бiквадратнi рiвняння, та рівняння, що зводяться до квадратних
  • Iншi види цiлих рiвнянь
    • Цiлi рацiональнi рiвняння вищих степенів
      • Метод підбору коренів
      • Метод заміни змінної
    • Рiвняння з модулями
      • Метод інтервалів
    • Рівняння з параметрами
      • Лінійне рiвняння з параметрами
      • Квадратне рівняння з параметрами
  • Цілі нерівності
    • Основні властивості
    • Лiнiйнi нерiвностi
    • Система та сукупність нерівностей
    • Нерiвностi з модулями
  • Метод інтервалів
    • Метод інтервалів
    • Дробово-рацiональнi нерiвності
    • Нерiвностi з параметрами
  • Дробово-раціональні рівняння
    • Дробово-раціональне рівняння
    • Раціональні рівняння з параметрами
  • Ірраціональні рівняння
    • Корабель на горизонтi
    • Iррацiональнi рiвняння з квадратним коренем
    • Корабль поза горизонтом
  • Ірраціональні нерівності
    • Метод відокремлення кореня
    • Методологiя розв’язання в залежностi вiд парності/непарностi степеня кореня
    • Метод iнтервалiв для iррацiональних нерiвностей
    • Нерiвностi з параметрами
  • Показникові рівняння
    • Вік Землі та скам’янілостей
    • Показникові рівняння
    • Показникові нерівності
    • Степенево-показникові рівняння
    • Зведення до однiєї основи
      • Показникові рівняння
    • Винесення множника
    • Рiвняння особливих видiв
    • Використання властивостей функцiй (монотонностi)
    • Показниково - степеневi рiвняння
    • Рiвняння з параметрами
    • Системи рівнянь
  • Показникові нерівності
    • Властивостi показникової функцiї та класифікація типiв задач
    • Методи розв’язання окремих типiв задач
    • Степенево - показниковi нерiвностi
  • Логарифмічні рівняння
    • Логарифмiчнi рiвняння
    • Логарифмування та потенцiювання
    • Використання логарифмiчних тотожностей для розв’язання окремих типiв задач
    • Системи рівнянь
  • Логарифмічні нерівності
    • Використання властивостей логарифмiв для розв’язання рiзних типiв задач
    • Замiна змiнної в логарифмiчних нерiвностях
    • Показниково-логарифмiчнi нерiвностi
    • Нерiвностi з параметрами
Powered by GitBook
On this page

Was this helpful?

  1. Лiнiйнi та квадратнi рiвняння
  2. Квадратнi рiвняння

Повне квадратне рівняння та дискримiнант

PreviousНеповні квадратні рівнянняNextФакторизація квадратного рівняння (розкладання на множники)

Last updated 6 years ago

Was this helpful?

Скористаємось процедурою виділення повного квадрата з тричлена, яку ви можете знайти у розділі :

$$ax^2 + bx + c = 0.$$

Перед цим домножимо повне квадратне рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$ на $$4a$$:

$$4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0.$$

Представляємо перший доданок у вигляді квадрата деякого виразу $$X$$:

$$(2ax)^2 + 4abx + 4ac = 0.$$

Отже, вираз $$X = 2ax$$.

Другий доданок переписуємо так, щоб він мав вигляд $$2XY$$:

$$(2ax)^2 + 2\cdot2ax\cdot b + 4ac = 0.$$

Звідки вираз $$Y = b$$.

Додаємо та віднімаємо $$Y^2 = b^2$$:

$$(2ax)^2 + 2\cdot2ax\cdot b + b^2 - b^2 + 4ac = 0.$$

Виділяємо повний квадрат $$(X + Y)^2$$ з отриманого виразу:

$$(2ax + b)^2 - b^2 + 4ac =0,$$

$$(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac.$$

Для зручності позначимо $$b^2 - 4ac = D$$. Тоді тотожність матиме вигляд:

$$(2ax + b)^2 = D.$$

Можливі три випадки: $$D > 0, D = 0$$ та $$D

  1. $$D > 0$$. В такому випадку з $$D$$ можна добути корінь: $$D = (\sqrt{D})^2$$.

    Тоді після заміни та застосування формули різниці квадратів маємо рівняння:

    $$(2ax + b)^2 = (\sqrt{D})^2 \Longleftrightarrow (2ax + b)^2 - (\sqrt{D})^2 = 0 \Longleftrightarrow (2ax + b - \sqrt{D})(2ax + b + \sqrt{D}) = 0.$$

    За однією з властивостей рівносильних перетворень добуток множників рівний нулеві, якщо хоча б один з множників рівний нулеві. Тоді отримуємо:

    $$\left[ \begin{gathered} 2ax + b - \sqrt{D} = 0 \hfill \\ 2ax + b + \sqrt{D} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Longrightarrow \begin{cases} x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a},\\ x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a}. \end{cases}$$

    Таким чином, при $$D > 0$$ рівняння має два корені, що відрізняються лише знаком при $$\sqrt{D}$$. Коротко їх записують у такий спосіб:

    $$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$

  2. $$D = 0$$. В такому випадку маємо $$(2ax + b)^2 = 0 \Longleftrightarrow 2ax + b = 0 \Longleftrightarrow x = -\dfrac{b}{2a}$$.

    Цей корінь можна також отримати і з вищенаведеної формули для коренів $$x_{1,2}$$, поклавши в ній $$D = 0$$.

    Таким чином, при $$D = 0$$ рівняння має один корінь (а точніше, два однакових корені).

  3. $$D

Визначення За знаком виразу $$D = b^2 - 4ac$$ можна визначити, скільки дійсних коренів матиме рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$. Цей вираз $$D$$ називають дискримінантом.

  • при $$D > 0$$ рівняння має два дійсних корені;

  • при $$D = 0$$ рівняння має один дійсний корінь (два однакових);

  • при $$D

Визначення Формула коренів квадратного рівняння:

$$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$

Приклад

  1. Розв’язати рівняння: $$x^2 - 5x + 6 = 0$$.

    Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Шукаємо дискримінант: $$D = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot6 = 25 - 24 = 1 > 0$$, отже рівняння має два дійсних корені:$$x_1 = \dfrac{5 + \sqrt{1}}{2} = 3$$; $$x_2 = \dfrac{5 - \sqrt{1}}{2} = 2.$$Відповідь. $$x_1 = 3$$, $$x_2 = 2.$$

  2. Розв’язати рівняння: $$x^2 + 4x + 4 = 0$$.

    Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Шукаємо дискримінант: $$D = (4)^2 - 4\cdot1\cdot4 = 16 - 16 = 0$$, отже, рівняння має один дійсний корінь:$$x = \dfrac{-4}{2\cdot1} = -2.$$Відповідь. $$x = -2.$$

  3. Розв’язати рівняння: $$3x^2 + 2x + 1 = 0$$.

    Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Шукаємо дискримінант: $$D = (2)^2 - 4\cdot3\cdot1 = 4 - 12 = -8Відповідь. $$x \in \emptyset.$$

Розв'язати рівняння: $$x^2+3x-3=7$$ $$x=2$$ $$x=0$$ $$x=-2$$ $$x=5$$ $$x=-5$$ $$x=7$$ $$x=-4$$

Перенесемо доданки з правої частини рівняння в ліву:

$$x^2+3x-3-7=0$$

$$x^2+3x-10=0$$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

$$D=(3)^2-4\cdot1\cdot(-10)=9+40=49$$

Через те, що дискримінант більше нуля, квадратне рівняння має два дійсних кореня:

$$x_{1,2}=\dfrac{-3\pm7}{2\cdot1}=\{2,-5\}$$

Розв'язати рівняння: $$5x^2-5x=x-5$$ $$x \in \emptyset$$ $$x=0$$ $$x=1$$ $$x=-1$$ $$x=-5$$ $$x=7$$ $$x=-4$$

Перенесемо доданки з правої частини рівняння в ліву:

$$5x^2-5x-x+5=0$$

$$5x^2-6x+5=0$$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

$$D=(6)^2-4\cdot5\cdot5=36-100=-64$$

Через те, що дискримінант менше нуля, квадратне рівняння не має дійсних коренів.

$$x \in \emptyset$$

Розкладання многочлена на множники