Повне квадратне рівняння та дискримiнант
Скористаємось процедурою виділення повного квадрата з тричлена, яку ви можете знайти у розділі Розкладання многочлена на множники:
$ax^2 + bx + c = 0.$
Перед цим домножимо повне квадратне рівняння $ax^2 + bx + c = 0$ на $4a$:
$4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0.$
Представляємо перший доданок у вигляді квадрата деякого виразу $X$:
$(2ax)^2 + 4abx + 4ac = 0.$
Отже, вираз $X = 2ax$.
Другий доданок переписуємо так, щоб він мав вигляд $2XY$:
$(2ax)^2 + 2\cdot2ax\cdot b + 4ac = 0.$
Звідки вираз $Y = b$.
Додаємо та віднімаємо $Y^2 = b^2$:
$(2ax)^2 + 2\cdot2ax\cdot b + b^2 - b^2 + 4ac = 0.$
Виділяємо повний квадрат $(X + Y)^2$ з отриманого виразу:
$(2ax + b)^2 - b^2 + 4ac =0,$
$(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac.$
Для зручності позначимо $b^2 - 4ac = D$. Тоді тотожність матиме вигляд:
$(2ax + b)^2 = D.$
Можливі три випадки: $D > 0, D = 0$ та $D
  1. 1.
    $D > 0$. В такому випадку з $D$ можна добути корінь: $D = (\sqrt{D})^2$.
    Тоді після заміни та застосування формули різниці квадратів маємо рівняння:
    $(2ax + b)^2 = (\sqrt{D})^2 \Longleftrightarrow (2ax + b)^2 - (\sqrt{D})^2 = 0 \Longleftrightarrow (2ax + b - \sqrt{D})(2ax + b + \sqrt{D}) = 0.$
    За однією з властивостей рівносильних перетворень добуток множників рівний нулеві, якщо хоча б один з множників рівний нулеві. Тоді отримуємо:
    $\left[ \begin{gathered} 2ax + b - \sqrt{D} = 0 \hfill \\ 2ax + b + \sqrt{D} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Longrightarrow \begin{cases} x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a},\\ x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a}. \end{cases}$
    Таким чином, при $D > 0$ рівняння має два корені, що відрізняються лише знаком при $\sqrt{D}$. Коротко їх записують у такий спосіб:
    $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$
  2. 2.
    $D = 0$. В такому випадку маємо $(2ax + b)^2 = 0 \Longleftrightarrow 2ax + b = 0 \Longleftrightarrow x = -\dfrac{b}{2a}$.
    Цей корінь можна також отримати і з вищенаведеної формули для коренів $x_{1,2}$, поклавши в ній $D = 0$.
    Таким чином, при $D = 0$ рівняння має один корінь (а точніше, два однакових корені).
  3. 3.
    $D
Визначення За знаком виразу $D = b^2 - 4ac$ можна визначити, скільки дійсних коренів матиме рівняння $ax^2 + bx + c = 0$. Цей вираз $D$ називають дискримінантом.
  • при $D > 0$ рівняння має два дійсних корені;
  • при $D = 0$ рівняння має один дійсний корінь (два однакових);
  • при $D
Визначення Формула коренів квадратного рівняння:
$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$
Приклад
  1. 1.
    Розв’язати рівняння: $x^2 - 5x + 6 = 0$.
    Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Шукаємо дискримінант: $D = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot6 = 25 - 24 = 1 > 0$, отже рівняння має два дійсних корені:$x_1 = \dfrac{5 + \sqrt{1}}{2} = 3$; $x_2 = \dfrac{5 - \sqrt{1}}{2} = 2.$Відповідь. $x_1 = 3$, $x_2 = 2.$
  2. 2.
    Розв’язати рівняння: $x^2 + 4x + 4 = 0$.
    Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Шукаємо дискримінант: $D = (4)^2 - 4\cdot1\cdot4 = 16 - 16 = 0$, отже, рівняння має один дійсний корінь:$x = \dfrac{-4}{2\cdot1} = -2.$Відповідь. $x = -2.$
  3. 3.
    Розв’язати рівняння: $3x^2 + 2x + 1 = 0$.
    Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Шукаємо дискримінант: $D = (2)^2 - 4\cdot3\cdot1 = 4 - 12 = -8Відповідь. $x \in \emptyset.$
Розв'язати рівняння: $x^2+3x-3=7$ $x=2$ $x=0$ $x=-2$ $x=5$ $x=-5$ $x=7$ $x=-4$
Перенесемо доданки з правої частини рівняння в ліву:
$x^2+3x-3-7=0$
$x^2+3x-10=0$
Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:
$D=(3)^2-4\cdot1\cdot(-10)=9+40=49$
Через те, що дискримінант більше нуля, квадратне рівняння має два дійсних кореня:
$x_{1,2}=\dfrac{-3\pm7}{2\cdot1}=\{2,-5\}$
Розв'язати рівняння: $5x^2-5x=x-5$ $x \in \emptyset$ $x=0$ $x=1$ $x=-1$ $x=-5$ $x=7$ $x=-4$
Перенесемо доданки з правої частини рівняння в ліву:
$5x^2-5x-x+5=0$
$5x^2-6x+5=0$
Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:
$D=(6)^2-4\cdot5\cdot5=36-100=-64$
Через те, що дискримінант менше нуля, квадратне рівняння не має дійсних коренів.
$x \in \emptyset$
Last modified 2yr ago
Copy link