Повне квадратне рівняння та дискримiнант
Скористаємось процедурою виділення повного квадрата з тричлена, яку ви можете знайти у розділі Розкладання многочлена на множники:
$$ax^2 + bx + c = 0.$$
Перед цим домножимо повне квадратне рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$ на $$4a$$:
$$4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0.$$
Представляємо перший доданок у вигляді квадрата деякого виразу $$X$$:
$$(2ax)^2 + 4abx + 4ac = 0.$$
Отже, вираз $$X = 2ax$$.
Другий доданок переписуємо так, щоб він мав вигляд $$2XY$$:
$$(2ax)^2 + 2\cdot2ax\cdot b + 4ac = 0.$$
Звідки вираз $$Y = b$$.
Додаємо та віднімаємо $$Y^2 = b^2$$:
$$(2ax)^2 + 2\cdot2ax\cdot b + b^2 - b^2 + 4ac = 0.$$
Виділяємо повний квадрат $$(X + Y)^2$$ з отриманого виразу:
$$(2ax + b)^2 - b^2 + 4ac =0,$$
$$(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac.$$
Для зручності позначимо $$b^2 - 4ac = D$$. Тоді тотожність матиме вигляд:
$$(2ax + b)^2 = D.$$
Можливі три випадки: $$D > 0, D = 0$$ та $$D
- 1.$$D > 0$$. В такому випадку з $$D$$ можна добути корінь: $$D = (\sqrt{D})^2$$.Тоді після заміни та застосування формули різниці квадратів маємо рівняння:$$(2ax + b)^2 = (\sqrt{D})^2 \Longleftrightarrow (2ax + b)^2 - (\sqrt{D})^2 = 0 \Longleftrightarrow (2ax + b - \sqrt{D})(2ax + b + \sqrt{D}) = 0.$$За однією з властивостей рівносильних перетворень добуток множників рівний нулеві, якщо хоча б один з множників рівний нулеві. Тоді отримуємо:$$\left[ \begin{gathered} 2ax + b - \sqrt{D} = 0 \hfill \\ 2ax + b + \sqrt{D} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Longrightarrow \begin{cases} x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a},\\ x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a}. \end{cases}$$Таким чином, при $$D > 0$$ рівняння має два корені, що відрізняються лише знаком при $$\sqrt{D}$$. Коротко їх записують у такий спосіб:$$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$
- 2.$$D = 0$$. В такому випадку маємо $$(2ax + b)^2 = 0 \Longleftrightarrow 2ax + b = 0 \Longleftrightarrow x = -\dfrac{b}{2a}$$.Цей корінь можна також отримати і з вищенаведеної формули для коренів $$x_{1,2}$$, поклавши в ній $$D = 0$$.