# Повне квадратне рівняння та дискримiнант

Скористаємось процедурою виділення повного квадрата з тричлена, яку ви можете знайти у розділі [Розкладання многочлена на множники](http://math.ed-era.com/3/rozkladannya_mnogochlena_na_mnozhniki.html):

$$ax^2 + bx + c = 0.$$

Перед цим домножимо повне квадратне рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$ на $$4a$$:

$$4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0.$$

Представляємо перший доданок у вигляді квадрата деякого виразу $$X$$:

$$(2ax)^2 + 4abx + 4ac = 0.$$

Отже, вираз $$X = 2ax$$.

Другий доданок переписуємо так, щоб він мав вигляд $$2XY$$:

$$(2ax)^2 + 2\cdot2ax\cdot b + 4ac = 0.$$

Звідки вираз $$Y = b$$.

Додаємо та віднімаємо $$Y^2 = b^2$$:

$$(2ax)^2 + 2\cdot2ax\cdot b + b^2 - b^2 + 4ac = 0.$$

Виділяємо повний квадрат $$(X + Y)^2$$ з отриманого виразу:

$$(2ax + b)^2 - b^2 + 4ac =0,$$

$$(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac.$$

Для зручності позначимо $$b^2 - 4ac = D$$. Тоді тотожність матиме вигляд:

$$(2ax + b)^2 = D.$$

Можливі три випадки: $$D > 0, D = 0$$ та $$D

1. $$D > 0$$. В такому випадку з $$D$$ можна добути корінь: $$D = (\sqrt{D})^2$$.

   Тоді після заміни та застосування формули різниці квадратів маємо рівняння:

   $$(2ax + b)^2 = (\sqrt{D})^2 \Longleftrightarrow (2ax + b)^2 - (\sqrt{D})^2 = 0 \Longleftrightarrow (2ax + b - \sqrt{D})(2ax + b + \sqrt{D}) = 0.$$

   За однією з властивостей рівносильних перетворень добуток множників рівний нулеві, якщо хоча б один з множників рівний нулеві. Тоді отримуємо:

    $$\left\[ \begin{gathered} 2ax + b - \sqrt{D} = 0 \hfill \\\ 2ax + b + \sqrt{D} = 0 \hfill \\\ \end{gathered} \right. \Longrightarrow \begin{cases} x\_1 = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a},\\\ x\_2 = \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a}. \end{cases}$$

   Таким чином, **при** $$D > 0$$ **рівняння має два корені**, що відрізняються лише знаком при $$\sqrt{D}$$. Коротко їх записують у такий спосіб:

   $$x\_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$
2. $$D = 0$$. В такому випадку маємо $$(2ax + b)^2 = 0 \Longleftrightarrow 2ax + b = 0 \Longleftrightarrow x = -\dfrac{b}{2a}$$.

   Цей корінь можна також отримати і з вищенаведеної формули для коренів $$x\_{1,2}$$, поклавши в ній $$D = 0$$.

   Таким чином, **при** $$D = 0$$ **рівняння має один корінь** (а точніше, два однакових корені).
3. $$D

 Визначення За знаком виразу $$D = b^2 - 4ac$$ можна визначити, скільки дійсних коренів матиме рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$. Цей вираз $$D$$ називають **дискримінантом**.

* при $$D > 0$$ рівняння має два дійсних корені;
* при $$D = 0$$ рівняння має один дійсний корінь (два однакових);
* при $$D

 Визначення Формула коренів квадратного рівняння:

$$x\_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$

 Приклад

1. Розв’язати рівняння: $$x^2 - 5x + 6 = 0$$.

    Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Шукаємо дискримінант: $$D = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot6 = 25 - 24 = 1 > 0$$, отже рівняння має два дійсних корені:$$x\_1 = \dfrac{5 + \sqrt{1}}{2} = 3$$; $$x\_2 = \dfrac{5 - \sqrt{1}}{2} = 2.$$**Відповідь. $$x\_1 = 3$$, $$x\_2 = 2.$$**
2. Розв’язати рівняння: $$x^2 + 4x + 4 = 0$$.

    Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Шукаємо дискримінант: $$D = (4)^2 - 4\cdot1\cdot4 = 16 - 16 = 0$$, отже, рівняння має один дійсний корінь:$$x = \dfrac{-4}{2\cdot1} = -2.$$**Відповідь. $$x = -2.$$**
3. Розв’язати рівняння: $$3x^2 + 2x + 1 = 0$$.

    Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Шукаємо дискримінант: $$D = (2)^2 - 4\cdot3\cdot1 = 4 - 12 = -8**Відповідь. $$x \in \emptyset.$$**

Розв'язати рівняння: $$x^2+3x-3=7$$ $$x=2$$ $$x=0$$ $$x=-2$$ $$x=5$$ $$x=-5$$ $$x=7$$ $$x=-4$$

Перенесемо доданки з правої частини рівняння в ліву:

$$x^2+3x-3-7=0$$

$$x^2+3x-10=0$$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

$$D=(3)^2-4\cdot1\cdot(-10)=9+40=49$$

Через те, що дискримінант більше нуля, квадратне рівняння має два дійсних кореня:

$$x\_{1,2}=\dfrac{-3\pm7}{2\cdot1}=\\{2,-5\\}$$

Розв'язати рівняння: $$5x^2-5x=x-5$$ $$x \in \emptyset$$ $$x=0$$ $$x=1$$ $$x=-1$$ $$x=-5$$ $$x=7$$ $$x=-4$$

Перенесемо доданки з правої частини рівняння в ліву:

$$5x^2-5x-x+5=0$$

$$5x^2-6x+5=0$$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

$$D=(6)^2-4\cdot5\cdot5=36-100=-64$$

Через те, що дискримінант менше нуля, квадратне рівняння не має дійсних коренів.

$$x \in \emptyset$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/zagaln_vdomost-1/zagaln_vdomosti_kvadratni/povne_kvadratne_rvnyannya_ta_diskriminant.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.