> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://math.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://math.ed-era.com/zagaln_vdomost-1/zagaln_vdomosti_kvadratni/povne_kvadratne_rvnyannya_ta_diskriminant.md).

# Повне квадратне рівняння та дискримiнант

Скористаємось процедурою виділення повного квадрата з тричлена, яку ви можете знайти у розділі [Розкладання многочлена на множники](http://math.ed-era.com/3/rozkladannya_mnogochlena_na_mnozhniki.html):

$$ax^2 + bx + c = 0.$$

Перед цим домножимо повне квадратне рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$ на $$4a$$:

$$4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0.$$

Представляємо перший доданок у вигляді квадрата деякого виразу $$X$$:

$$(2ax)^2 + 4abx + 4ac = 0.$$

Отже, вираз $$X = 2ax$$.

Другий доданок переписуємо так, щоб він мав вигляд $$2XY$$:

$$(2ax)^2 + 2\cdot2ax\cdot b + 4ac = 0.$$

Звідки вираз $$Y = b$$.

Додаємо та віднімаємо $$Y^2 = b^2$$:

$$(2ax)^2 + 2\cdot2ax\cdot b + b^2 - b^2 + 4ac = 0.$$

Виділяємо повний квадрат $$(X + Y)^2$$ з отриманого виразу:

$$(2ax + b)^2 - b^2 + 4ac =0,$$

$$(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac.$$

Для зручності позначимо $$b^2 - 4ac = D$$. Тоді тотожність матиме вигляд:

$$(2ax + b)^2 = D.$$

Можливі три випадки: $$D > 0, D = 0$$ та $$D

1. $$D > 0$$. В такому випадку з $$D$$ можна добути корінь: $$D = (\sqrt{D})^2$$.

   Тоді після заміни та застосування формули різниці квадратів маємо рівняння:

   $$(2ax + b)^2 = (\sqrt{D})^2 \Longleftrightarrow (2ax + b)^2 - (\sqrt{D})^2 = 0 \Longleftrightarrow (2ax + b - \sqrt{D})(2ax + b + \sqrt{D}) = 0.$$

   За однією з властивостей рівносильних перетворень добуток множників рівний нулеві, якщо хоча б один з множників рівний нулеві. Тоді отримуємо:

    $$\left\[ \begin{gathered} 2ax + b - \sqrt{D} = 0 \hfill \\\ 2ax + b + \sqrt{D} = 0 \hfill \\\ \end{gathered} \right. \Longrightarrow \begin{cases} x\_1 = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a},\\\ x\_2 = \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a}. \end{cases}$$

   Таким чином, **при** $$D > 0$$ **рівняння має два корені**, що відрізняються лише знаком при $$\sqrt{D}$$. Коротко їх записують у такий спосіб:

   $$x\_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$
2. $$D = 0$$. В такому випадку маємо $$(2ax + b)^2 = 0 \Longleftrightarrow 2ax + b = 0 \Longleftrightarrow x = -\dfrac{b}{2a}$$.

   Цей корінь можна також отримати і з вищенаведеної формули для коренів $$x\_{1,2}$$, поклавши в ній $$D = 0$$.

   Таким чином, **при** $$D = 0$$ **рівняння має один корінь** (а точніше, два однакових корені).
3. $$D

 Визначення За знаком виразу $$D = b^2 - 4ac$$ можна визначити, скільки дійсних коренів матиме рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$. Цей вираз $$D$$ називають **дискримінантом**.

* при $$D > 0$$ рівняння має два дійсних корені;
* при $$D = 0$$ рівняння має один дійсний корінь (два однакових);
* при $$D

 Визначення Формула коренів квадратного рівняння:

$$x\_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$

 Приклад

1. Розв’язати рівняння: $$x^2 - 5x + 6 = 0$$.

    Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Шукаємо дискримінант: $$D = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot6 = 25 - 24 = 1 > 0$$, отже рівняння має два дійсних корені:$$x\_1 = \dfrac{5 + \sqrt{1}}{2} = 3$$; $$x\_2 = \dfrac{5 - \sqrt{1}}{2} = 2.$$**Відповідь. $$x\_1 = 3$$, $$x\_2 = 2.$$**
2. Розв’язати рівняння: $$x^2 + 4x + 4 = 0$$.

    Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Шукаємо дискримінант: $$D = (4)^2 - 4\cdot1\cdot4 = 16 - 16 = 0$$, отже, рівняння має один дійсний корінь:$$x = \dfrac{-4}{2\cdot1} = -2.$$**Відповідь. $$x = -2.$$**
3. Розв’язати рівняння: $$3x^2 + 2x + 1 = 0$$.

    Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Шукаємо дискримінант: $$D = (2)^2 - 4\cdot3\cdot1 = 4 - 12 = -8**Відповідь. $$x \in \emptyset.$$**

Розв'язати рівняння: $$x^2+3x-3=7$$ $$x=2$$ $$x=0$$ $$x=-2$$ $$x=5$$ $$x=-5$$ $$x=7$$ $$x=-4$$

Перенесемо доданки з правої частини рівняння в ліву:

$$x^2+3x-3-7=0$$

$$x^2+3x-10=0$$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

$$D=(3)^2-4\cdot1\cdot(-10)=9+40=49$$

Через те, що дискримінант більше нуля, квадратне рівняння має два дійсних кореня:

$$x\_{1,2}=\dfrac{-3\pm7}{2\cdot1}=\\{2,-5\\}$$

Розв'язати рівняння: $$5x^2-5x=x-5$$ $$x \in \emptyset$$ $$x=0$$ $$x=1$$ $$x=-1$$ $$x=-5$$ $$x=7$$ $$x=-4$$

Перенесемо доданки з правої частини рівняння в ліву:

$$5x^2-5x-x+5=0$$

$$5x^2-6x+5=0$$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

$$D=(6)^2-4\cdot5\cdot5=36-100=-64$$

Через те, що дискримінант менше нуля, квадратне рівняння не має дійсних коренів.

$$x \in \emptyset$$