> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://math.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://math.ed-era.com/zagaln_vdomost-1/zagaln_vdomosti_kvadratni/faktorizatsya_kvadratnogo_rvnyannya_rozkladannya_na_mnozhniki.md).

# Факторизація квадратного рівняння (розкладання на множники)

 Теорема

Якщо $$x\_{1,2}$$ — корені квадратного рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$, то справедлива тотожність:

$$ax^2 + bx + c = a(x - x\_1)(x - x\_2)$$.

Ця формула вже зустрічалася у розділі 3.6 [Розкладання многочлена на множники](http://math.ed-era.com/3/rozkladannya_mnogochlena_na_mnozhniki.html). Цього разу наводимо її з доведенням.

 Доведення У розділі 6.3.3 [Повне квадратне рівняння та дискримінант](http://math.ed-era.com/6/povne_kvadratne_rvnyannya_ta_diskriminant.html) за допомогою рівносильних перетворень ми отримали таке:

$$4a^2x^2 + 4abx + 4ac = (2ax + b - \sqrt{D})(2ax + b + \sqrt{D}).$$

Якщо тепер обидві частини розділити на $$4a^2$$, отримаємо:

$$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = \left(x + \dfrac{b}{2a} - \dfrac{\sqrt{D}}{2a} \right)\left(x + \dfrac{b}{2a} + \dfrac{\sqrt{D}}{2a} \right).$$

Скориставшись формулою для знаходження коренів квадратного рівняння, маємо:

$$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = (x - x\_1)(x - x\_2).$$

Помноживши обидві частини рівняння на $$a$$, маємо тотожність з теореми:

$$ax^2 + bx + c = a(x - x\_1)(x - x\_2).$$

 Теорема (обернена)

Якщо виконується тотожність $$ax^2 + bx + c = a(x - x\_1)(x - x\_2)$$, то квадратне рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$ матиме корені $$x\_1$$ та $$x\_2$$.