# Факторизація квадратного рівняння (розкладання на множники)

 Теорема

Якщо $$x\_{1,2}$$ — корені квадратного рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$, то справедлива тотожність:

$$ax^2 + bx + c = a(x - x\_1)(x - x\_2)$$.

Ця формула вже зустрічалася у розділі 3.6 [Розкладання многочлена на множники](http://math.ed-era.com/3/rozkladannya_mnogochlena_na_mnozhniki.html). Цього разу наводимо її з доведенням.

 Доведення У розділі 6.3.3 [Повне квадратне рівняння та дискримінант](http://math.ed-era.com/6/povne_kvadratne_rvnyannya_ta_diskriminant.html) за допомогою рівносильних перетворень ми отримали таке:

$$4a^2x^2 + 4abx + 4ac = (2ax + b - \sqrt{D})(2ax + b + \sqrt{D}).$$

Якщо тепер обидві частини розділити на $$4a^2$$, отримаємо:

$$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = \left(x + \dfrac{b}{2a} - \dfrac{\sqrt{D}}{2a} \right)\left(x + \dfrac{b}{2a} + \dfrac{\sqrt{D}}{2a} \right).$$

Скориставшись формулою для знаходження коренів квадратного рівняння, маємо:

$$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = (x - x\_1)(x - x\_2).$$

Помноживши обидві частини рівняння на $$a$$, маємо тотожність з теореми:

$$ax^2 + bx + c = a(x - x\_1)(x - x\_2).$$

 Теорема (обернена)

Якщо виконується тотожність $$ax^2 + bx + c = a(x - x\_1)(x - x\_2)$$, то квадратне рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$ матиме корені $$x\_1$$ та $$x\_2$$.


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/zagaln_vdomost-1/zagaln_vdomosti_kvadratni/faktorizatsya_kvadratnogo_rvnyannya_rozkladannya_na_mnozhniki.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.