Факторизація квадратного рівняння (розкладання на множники)
Теорема
Якщо $x_{1,2}$ — корені квадратного рівняння $ax^2 + bx + c = 0$, то справедлива тотожність:
$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
Ця формула вже зустрічалася у розділі 3.6 Розкладання многочлена на множники. Цього разу наводимо її з доведенням.
Доведення У розділі 6.3.3 Повне квадратне рівняння та дискримінант за допомогою рівносильних перетворень ми отримали таке:
$4a^2x^2 + 4abx + 4ac = (2ax + b - \sqrt{D})(2ax + b + \sqrt{D}).$
Якщо тепер обидві частини розділити на $4a^2$, отримаємо:
$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = \left(x + \dfrac{b}{2a} - \dfrac{\sqrt{D}}{2a} \right)\left(x + \dfrac{b}{2a} + \dfrac{\sqrt{D}}{2a} \right).$
Скориставшись формулою для знаходження коренів квадратного рівняння, маємо:
$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = (x - x_1)(x - x_2).$
Помноживши обидві частини рівняння на $a$, маємо тотожність з теореми:
$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2).$
Теорема (обернена)
Якщо виконується тотожність $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, то квадратне рівняння $ax^2 + bx + c = 0$ матиме корені $x_1$ та $x_2$.
Copy link