# Теорема Вiєта

Можна поділити всі коефіцієнти квадратного рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$ на старший коефіцієнт $$a$$: $$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0$$. Таке рівняння називають **зведеним**. Визначення **Зведене квадратне рівняння** — квадратне рівняння, у якого коефіцієнт при $$x^2$$ рівний одиниці, тобто $$a = 1$$.

Наприклад: $$x^2 - 2x + 1 = 0$$; $$x^2 - x = 0.$$

У пункті 6.3.4 [Факторизацiя квадратного рiвняння (розкладання на множники)](http://math.ed-era.com/6/faktorizatsya_kvadratnogo_rvnyannya_rozkladannya_na_mnozhniki.html) було виведено тотожність $$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = (x - x\_1)(x - x\_2)$$.

Якщо розкрити дужки у правій частині тотожності:

$$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = x^2 - x\_2x - x\_1x +x\_1x\_2 = x^2 - (x\_1 + x\_2)x + x\_1x\_2.$$

Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях $$x$$, отримуємо такі співвідношення:

$$x\_1 + x\_2 = -\dfrac{b}{a},$$

$$x\_1x\_2 = \dfrac{c}{a}.$$

Ці тотожності вперше отримав Франсуа Вієт у XVI ст., вони лежать в основі теореми Вієта. Теорема Вієта Сума коренів квадратного рівняння рівна коефіцієнту при $$x$$, взятому з протилежним знаком та поділеному на коефіцієнт при $$x^2$$; добуток коренів рівний вільному доданку, поділеному на коефіцієнт при $$x^2$$:

$$x\_1 + x\_2 = -\dfrac{b}{a},$$

$$x\_1x\_2 = \dfrac{c}{a}.$$ Теорема (обернена до т. Вієта)

Якщо для двох чисел $$x\_1$$ та $$x\_2$$ виконуються рівності:

$$x\_1 + x\_2 = -\dfrac{b}{a}$$, $$x\_1x\_2 = \dfrac{c}{a},$$

то числа $$x\_1$$ та $$x\_2$$ є коренями квадратного рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$. Приклад

Знайти $$|x\_1 - x\_2|$$, де $$x\_{1,2}$$ — корені рівняння $$2x^2 + 2x - 12$$.

 

Розв’язок

 

Вiдповiдь

 

Приховати

**Розв’язок.**

За теоремою Вієта: $$x\_1 + x\_2 = -1; x\_1x\_2 = -6$$.

Запишемо з формул скороченого множення рівність $$(x\_1 - x\_2)^2 = {x\_1}^2 - 2x\_1x\_2 + {x\_2}^2$$. Якщо додати та відняти $$2x\_1x\_2$$ та скористатися формулою квадрату суми, маємо:

$$(x\_1 - x\_2)^2 = {x\_1}^2 - 2x\_1x\_2 + {x\_2}^2 + 2x\_1x\_2 - 2x\_1x\_2 = ({x\_1}^2 + 2x\_1x\_2 + {x\_2}^2) - 4x\_1x\_2 = (x\_1 + x\_2)^2 - 4x\_1x\_2.$$

Підставивши числа, знайдені за т. Вієта, маємо $$(x\_1 - x\_2)^2 = (-1)^2 - 4\cdot(-6) = 25.$$

Таким чином, $$|x\_1 - x\_2| = 5$$.

**Відповідь.** $$5$$.

Чому дорівнює модуль різниці коренів рівняння $$x^2 - 4x + 4 = 1$$? $$4$$ $$3$$ $$2$$ $$1$$

Перенесемо всі доданки у ліву частину рівняння:

$$x^2-4x+3=0$$

За теоремою Вієта знаходимо корені рівняння: $$x\_{1,2} = {1; 3}$$

Тоді модуль різниці коренів дорівнює: $$|3-1|= 2$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/zagaln_vdomost-1/zagaln_vdomosti_kvadratni/teorema_vita.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.