> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://math.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://math.ed-era.com/zagaln_vdomost-1/zagaln_vdomosti_kvadratni/teorema_vita.md).

# Теорема Вiєта

Можна поділити всі коефіцієнти квадратного рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$ на старший коефіцієнт $$a$$: $$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0$$. Таке рівняння називають **зведеним**. Визначення **Зведене квадратне рівняння** — квадратне рівняння, у якого коефіцієнт при $$x^2$$ рівний одиниці, тобто $$a = 1$$.

Наприклад: $$x^2 - 2x + 1 = 0$$; $$x^2 - x = 0.$$

У пункті 6.3.4 [Факторизацiя квадратного рiвняння (розкладання на множники)](http://math.ed-era.com/6/faktorizatsya_kvadratnogo_rvnyannya_rozkladannya_na_mnozhniki.html) було виведено тотожність $$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = (x - x\_1)(x - x\_2)$$.

Якщо розкрити дужки у правій частині тотожності:

$$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = x^2 - x\_2x - x\_1x +x\_1x\_2 = x^2 - (x\_1 + x\_2)x + x\_1x\_2.$$

Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях $$x$$, отримуємо такі співвідношення:

$$x\_1 + x\_2 = -\dfrac{b}{a},$$

$$x\_1x\_2 = \dfrac{c}{a}.$$

Ці тотожності вперше отримав Франсуа Вієт у XVI ст., вони лежать в основі теореми Вієта. Теорема Вієта Сума коренів квадратного рівняння рівна коефіцієнту при $$x$$, взятому з протилежним знаком та поділеному на коефіцієнт при $$x^2$$; добуток коренів рівний вільному доданку, поділеному на коефіцієнт при $$x^2$$:

$$x\_1 + x\_2 = -\dfrac{b}{a},$$

$$x\_1x\_2 = \dfrac{c}{a}.$$ Теорема (обернена до т. Вієта)

Якщо для двох чисел $$x\_1$$ та $$x\_2$$ виконуються рівності:

$$x\_1 + x\_2 = -\dfrac{b}{a}$$, $$x\_1x\_2 = \dfrac{c}{a},$$

то числа $$x\_1$$ та $$x\_2$$ є коренями квадратного рівняння $$ax^2 + bx + c = 0$$. Приклад

Знайти $$|x\_1 - x\_2|$$, де $$x\_{1,2}$$ — корені рівняння $$2x^2 + 2x - 12$$.

 

Розв’язок

 

Вiдповiдь

 

Приховати

**Розв’язок.**

За теоремою Вієта: $$x\_1 + x\_2 = -1; x\_1x\_2 = -6$$.

Запишемо з формул скороченого множення рівність $$(x\_1 - x\_2)^2 = {x\_1}^2 - 2x\_1x\_2 + {x\_2}^2$$. Якщо додати та відняти $$2x\_1x\_2$$ та скористатися формулою квадрату суми, маємо:

$$(x\_1 - x\_2)^2 = {x\_1}^2 - 2x\_1x\_2 + {x\_2}^2 + 2x\_1x\_2 - 2x\_1x\_2 = ({x\_1}^2 + 2x\_1x\_2 + {x\_2}^2) - 4x\_1x\_2 = (x\_1 + x\_2)^2 - 4x\_1x\_2.$$

Підставивши числа, знайдені за т. Вієта, маємо $$(x\_1 - x\_2)^2 = (-1)^2 - 4\cdot(-6) = 25.$$

Таким чином, $$|x\_1 - x\_2| = 5$$.

**Відповідь.** $$5$$.

Чому дорівнює модуль різниці коренів рівняння $$x^2 - 4x + 4 = 1$$? $$4$$ $$3$$ $$2$$ $$1$$

Перенесемо всі доданки у ліву частину рівняння:

$$x^2-4x+3=0$$

За теоремою Вієта знаходимо корені рівняння: $$x\_{1,2} = {1; 3}$$

Тоді модуль різниці коренів дорівнює: $$|3-1|= 2$$