Теорема Вiєта
Можна поділити всі коефіцієнти квадратного рівняння $ax^2 + bx + c = 0$ на старший коефіцієнт $a$: $x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0$. Таке рівняння називають зведеним. Визначення Зведене квадратне рівняння — квадратне рівняння, у якого коефіцієнт при $x^2$ рівний одиниці, тобто $a = 1$.
Наприклад: $x^2 - 2x + 1 = 0$; $x^2 - x = 0.$
У пункті 6.3.4 Факторизацiя квадратного рiвняння (розкладання на множники) було виведено тотожність $x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = (x - x_1)(x - x_2)$.
Якщо розкрити дужки у правій частині тотожності:
$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = x^2 - x_2x - x_1x +x_1x_2 = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2.$
Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях $x$, отримуємо такі співвідношення:
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a},$
$x_1x_2 = \dfrac{c}{a}.$
Ці тотожності вперше отримав Франсуа Вієт у XVI ст., вони лежать в основі теореми Вієта. Теорема Вієта Сума коренів квадратного рівняння рівна коефіцієнту при $x$, взятому з протилежним знаком та поділеному на коефіцієнт при $x^2$; добуток коренів рівний вільному доданку, поділеному на коефіцієнт при $x^2$:
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a},$
$x_1x_2 = \dfrac{c}{a}.$ Теорема (обернена до т. Вієта)
Якщо для двох чисел $x_1$ та $x_2$ виконуються рівності:
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$, $x_1x_2 = \dfrac{c}{a},$
то числа $x_1$ та $x_2$ є коренями квадратного рівняння $ax^2 + bx + c = 0$. Приклад
Знайти $|x_1 - x_2|$, де $x_{1,2}$ — корені рівняння $2x^2 + 2x - 12$.
Розв’язок
Вiдповiдь
Приховати
Розв’язок.
За теоремою Вієта: $x_1 + x_2 = -1; x_1x_2 = -6$.
Запишемо з формул скороченого множення рівність $(x_1 - x_2)^2 = {x_1}^2 - 2x_1x_2 + {x_2}^2$. Якщо додати та відняти $2x_1x_2$ та скористатися формулою квадрату суми, маємо:
$(x_1 - x_2)^2 = {x_1}^2 - 2x_1x_2 + {x_2}^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2 = ({x_1}^2 + 2x_1x_2 + {x_2}^2) - 4x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2.$
Підставивши числа, знайдені за т. Вієта, маємо $(x_1 - x_2)^2 = (-1)^2 - 4\cdot(-6) = 25.$
Таким чином, $|x_1 - x_2| = 5$.
Відповідь. $5$.
Чому дорівнює модуль різниці коренів рівняння $x^2 - 4x + 4 = 1$? $4$ $3$ $2$ $1$
Перенесемо всі доданки у ліву частину рівняння:
$x^2-4x+3=0$
За теоремою Вієта знаходимо корені рівняння: $x_{1,2} = {1; 3}$
Тоді модуль різниці коренів дорівнює: $|3-1|= 2$
Copy link