Неповні квадратні рівняння

Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:

• $$b = 0$$: маємо рівняння $$ax^2 + c = 0 \Longleftrightarrow x^2 = -\dfrac{c}{a} \Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} x_{1,2} = \pm \sqrt{-\dfrac{c}{a}}, \dfrac{c}{a} 0. \end{gathered} \right.$$

  Наприклад: $$2x^2 - 8 = 0 \Longleftrightarrow x^2 = 4 \Longleftrightarrow x_{1,2} = \pm 2$$. $$x^2 + 5 = 0 \Longleftrightarrow x^2 = -5 \Longleftrightarrow x \in \emptyset$$.

• $$c = 0$$: маємо рівняння $$ax^2 + bx = 0 \Longleftrightarrow x\cdot(ax + b) = 0 \Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0,\\ ax + b = 0; \end{gathered} \right.$$ $$\Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} x_1 = 0,\\ x_2 = -\dfrac{b}{a}. \end{gathered} \right.$$

  Наприклад: $$6x^2 - x = 0 \Longleftrightarrow x\cdot(6x - 1) = 0 \Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0,\\ 6x - 1 = 0; \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} x_1 = 0,\\ x_2 = \dfrac{1}{6}. \end{gathered} \right.$$

• $$b = c = 0$$: маємо рівняння $$ax^2 = 0 \Longleftrightarrow x^2 = 0 \Longleftrightarrow x_1 = x_2 = 0$$.

  Наприклад: $$25x^2 = 0 \Longleftrightarrow x = 0$$.

Розв'язати рівняння: $$x^2-1=0$$ $$x=\pm1$$ $$x=\pm2$$ $$x=\pm3$$ $$x=0$$

Додамо до обох частин рівняння $$1$$:

$$x^2-1+1=0+1$$

$$x^2=1$$

Візьмемо квадратний корінь з обох частин рівняння:

$$\sqrt{x^2}=\sqrt{1}$$

$$x_{1,2}=\pm1$$

Розв'язати рівняння: $$x^2-9=0$$ $$x=\pm1$$ $$x=\pm2$$ $$x=\pm3$$ $$x=0$$

Додамо до обох частин рівняння $$9$$:

$$x^2-9+9=0+9$$

$$x^2=9$$

Візьмемо квадратний корінь з обох частин рівняння:

$$\sqrt{x^2}=\sqrt{9}$$

$$x_{1,2}=\pm3$$