> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://math.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://math.ed-era.com/zagaln_vdomost-1/liniini_rivnyannya.md).

# Лiнiйнi рiвняння

 Визначення **Лінійне рівняння з однією змінною** — це рівняння вигляду $$a\cdot x = b$$, де $$x$$ — змінна, а числа $$a$$ та $$b$$ — відомі. Ці числа називають коефіцієнтами рівняння.

**Кількість розв'язків** рівняння $$a\cdot x = b$$ залежить від значень коефіцієнтів:

* $$a \neq 0$$, рівняння має один корінь: $$x = \dfrac{b}{a}$$;
* $$a = 0, b \neq 0$$, рівняння не має жодного кореня: $$0\cdot x = b \Longleftrightarrow x \in \emptyset$$;
* $$a = 0, b = 0$$, рівняння має безліч коренів: $$0\cdot x = 0 \Longleftrightarrow x \in \mathbb{R}$$.

Будь-яке рівняння, яке рівносильними перетвореннями зводиться до лінійного, є також лінійним.

Наприклад: лінійними є рівняння $$3x = 5; 3 = 2 - 5x; 4(x - 1) = x - 5$$; не є лінійним рівняння $$(x - 2)(x - 1) = 2$$. Приклад

1\. $$6 = 2 - 4x \Longleftrightarrow 4x = -4 \Longleftrightarrow x = -1.$$

2\. $$3x = 8 \Longleftrightarrow x = \dfrac{8}{3}.$$

3\. $$5(x - 1) = x + 3 \Longleftrightarrow 5x - 5 = x + 3 \Longleftrightarrow 4x = 8 \Longleftrightarrow x = 2.$$

Розв'язати рівняння: $$2x+3=-x$$ $$x=-1$$ $$x=1$$ $$x=3$$ $$x=-3$$

Додамо до обох частин рівняння $$x$$:

$$2x+3+x=-x+x$$

$$3x+3=0$$

Додамо до обох частин рівняння $$-3$$:

$$3x+3-3=0-3$$

$$3x=-3$$

Розділимо обидві частини рівняння $$3$$:

$$x=-1$$