Бiквадратнi рiвняння, та рівняння, що зводяться до квадратних
Визначення Біквадратне рівняння — це рівняння вигляду $ax^4 + bx^2 + c = 0$, де $x$ — змінна, а числа $a$, $b$ та $c$ — відомі, при чому $a \neq 0$.
Взагалі будь-яке рівняння вигляду $ax^{2n} + bx^n + c =0$ (в тому числі і біквадратне) можна звести до квадратного заміною $x^n = t$ (для біквадратного $x^2 = t$).
Приклад
$2x^4 + 4x^2 - 48 = 0$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок.Зробимо заміну $x^2 = t$:$2t^2 + 4t - 48 = 0.$Шукаємо дискримінант: $D = (4)^2 - 4\cdot2\cdot(-48) = 16 + 384 = 400 > 0$, отже, рівняння має два дійсних коренів:$t_1 = \dfrac{-4 + \sqrt{400}}{2\cdot2} = 4; t_2 = \dfrac{-4 - \sqrt{400}}{2\cdot2} = -6.$Повертаємось до змінної $x$:$x^2 = 4;$$x^2 = -6.$З першого рівняння маємо $x_{1,2} = \pm 2$, а з другого — $x \in \emptyset$.Відповідь. $x_{1,2} = \pm 2$.
Приклад
$x^8 - 17x^4 + 16 = 0$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок.Зробимо заміну $x^4 = t$:$t^2 - 17t + 16 = 0.$Шукаємо дискримінант: $D = (-17)^2 - 4\cdot1\cdot16 = 289 - 64 = 225 > 0$, отже, рівняння має два дійсних коренів:$t_1 = \dfrac{17 + \sqrt{225}}{2\cdot1} = 16; t_2 = \dfrac{17 - \sqrt{225}}{2\cdot1} = 1.$Повертаємось до змінної $x$:$x^4 = 16;$$x^4 = 1.$З першого рівняння маємо $x_{1,2} = \pm 2$, а з другого — $x_{3,4} = \pm 1$.Відповідь. $x \in \{\pm 1; \pm2\}$.
Розв'язати рівняння: $x^4-16x^2-225=0$ $x=5$ $x=-5$ $x=0$ $x=1$ $x=-1$ $x=3$ $x=-3$
Зробимо заміну $y = x^2$, тоді біквадратне рівняння матиме вигляд:
$y^2-16y-225=0$
Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:
$D=(-16)^2-4\cdot1\cdot(-225)=256+900=1156$
Через те, що дискримінант більше нуля, квадратне рівняння має два дійсних кореня:
$y_{1,2}=\dfrac{16\pm34}{2\cdot1}={25,-9}$
Маємо два квадратних рівняння:
$(1) x^2=-9$
$(2) x^2=25$
Перше квадратне рівняння не має дійсних коренів. Друге квадратне рівняння має два дійсних кореня:
$x_{1,2}=\pm5$
Розв'язати рівняння: $x^4+97x^2+1296=0$ $x \in \emptyset$ $x=0$ $x=4$ $x=-4$ $x=-5$ $x=7$ $x=-7$
Зробимо заміну \(y = x^2\), тоді біквадратне рівняння матиме вигляд:
$y^2+97y+1296=0$
Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:
$D=(97)^2-4\cdot1\cdot1296=9409-5184=4225$
Через те, що дискримінант більше нуля, квадратне рівняння має два дійсних кореня:
$y_{1,2}=\dfrac{-97\pm65}{2\cdot1}={-81,-16}$
Маємо два квадратних рівняння:
$(1) x^2=-81$
$(2) x^2=-16$
Перше і друге квадратні рівняння не мають дійсних коренів.
$x \in \emptyset$
Last modified 3yr ago
Copy link