Математика: арифметика, рівняння та нерівності
  • Зміст
  • Вступне слово
  • Арифметика
    • Прості та складені числа
    • Ознаки подiльностi натуральних чисел
    • Дроби та дiї над ними
    • Модуль числа
  • Пропорції та відсотки
    • Відсотки
    • Розв’язання задач на спiльну виконану роботу (задачi на продуктивнiсть)
  • Одночлени та многочлени
    • Одночлен
    • Многочлен
    • Дiї над многочленами
    • Формули скороченого множення
    • Розкладання многочлена на множники
    • Бiном Ньютона
  • Корiнь та його властивостi
    • Квадратний корiнь та його основнi властивостi
    • Корінь n-го степеня та його основні властивості
    • Ірраціональні вирази
      • Доповнюючий множник
      • Звiльнення вiд iррацiональностi у знаменнику (чисельнику) iррацiонального дробу
      • Доповнюючi множники для основних типiв iррацiональностей у знаменнику (чисельнику)
    • Додаток
  • Показниковi та логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифм
    • Логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифмування та потенцiювання
  • Системи алгебраїчних рiвнянь
    • Метод підстановки
    • Метод алгебраїчного додавання
    • Метод заміни змінної
  • Лiнiйнi та квадратнi рiвняння
    • Лiнiйнi рiвняння
    • Квадратнi рiвняння
      • Неповні квадратні рівняння
      • Повне квадратне рівняння та дискримiнант
      • Факторизація квадратного рівняння (розкладання на множники)
      • Теорема Вiєта
    • Бiквадратнi рiвняння, та рівняння, що зводяться до квадратних
  • Iншi види цiлих рiвнянь
    • Цiлi рацiональнi рiвняння вищих степенів
      • Метод підбору коренів
      • Метод заміни змінної
    • Рiвняння з модулями
      • Метод інтервалів
    • Рівняння з параметрами
      • Лінійне рiвняння з параметрами
      • Квадратне рівняння з параметрами
  • Цілі нерівності
    • Основні властивості
    • Лiнiйнi нерiвностi
    • Система та сукупність нерівностей
    • Нерiвностi з модулями
  • Метод інтервалів
    • Метод інтервалів
    • Дробово-рацiональнi нерiвності
    • Нерiвностi з параметрами
  • Дробово-раціональні рівняння
    • Дробово-раціональне рівняння
    • Раціональні рівняння з параметрами
  • Ірраціональні рівняння
    • Корабель на горизонтi
    • Iррацiональнi рiвняння з квадратним коренем
    • Корабль поза горизонтом
  • Ірраціональні нерівності
    • Метод відокремлення кореня
    • Методологiя розв’язання в залежностi вiд парності/непарностi степеня кореня
    • Метод iнтервалiв для iррацiональних нерiвностей
    • Нерiвностi з параметрами
  • Показникові рівняння
    • Вік Землі та скам’янілостей
    • Показникові рівняння
    • Показникові нерівності
    • Степенево-показникові рівняння
    • Зведення до однiєї основи
      • Показникові рівняння
    • Винесення множника
    • Рiвняння особливих видiв
    • Використання властивостей функцiй (монотонностi)
    • Показниково - степеневi рiвняння
    • Рiвняння з параметрами
    • Системи рівнянь
  • Показникові нерівності
    • Властивостi показникової функцiї та класифікація типiв задач
    • Методи розв’язання окремих типiв задач
    • Степенево - показниковi нерiвностi
  • Логарифмічні рівняння
    • Логарифмiчнi рiвняння
    • Логарифмування та потенцiювання
    • Використання логарифмiчних тотожностей для розв’язання окремих типiв задач
    • Системи рівнянь
  • Логарифмічні нерівності
    • Використання властивостей логарифмiв для розв’язання рiзних типiв задач
    • Замiна змiнної в логарифмiчних нерiвностях
    • Показниково-логарифмiчнi нерiвностi
    • Нерiвностi з параметрами
Powered by GitBook
On this page

Was this helpful?

  1. Лiнiйнi та квадратнi рiвняння

Бiквадратнi рiвняння, та рівняння, що зводяться до квадратних

Визначення Біквадратне рівняння — це рівняння вигляду $$ax^4 + bx^2 + c = 0$$, де $$x$$ — змінна, а числа $$a$$, $$b$$ та $$c$$ — відомі, при чому $$a \neq 0$$.

Взагалі будь-яке рівняння вигляду $$ax^{2n} + bx^n + c =0$$ (в тому числі і біквадратне) можна звести до квадратного заміною $$x^n = t$$ (для біквадратного $$x^2 = t$$).

Приклад

$$2x^4 + 4x^2 - 48 = 0$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок.Зробимо заміну $$x^2 = t$$:$$2t^2 + 4t - 48 = 0.$$Шукаємо дискримінант: $$D = (4)^2 - 4\cdot2\cdot(-48) = 16 + 384 = 400 > 0$$, отже, рівняння має два дійсних коренів:$$t_1 = \dfrac{-4 + \sqrt{400}}{2\cdot2} = 4; t_2 = \dfrac{-4 - \sqrt{400}}{2\cdot2} = -6.$$Повертаємось до змінної $$x$$:$$x^2 = 4;$$$$x^2 = -6.$$З першого рівняння маємо $$x_{1,2} = \pm 2$$, а з другого — $$x \in \emptyset$$.Відповідь. $$x_{1,2} = \pm 2$$.

Приклад

$$x^8 - 17x^4 + 16 = 0$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок.Зробимо заміну $$x^4 = t$$:$$t^2 - 17t + 16 = 0.$$Шукаємо дискримінант: $$D = (-17)^2 - 4\cdot1\cdot16 = 289 - 64 = 225 > 0$$, отже, рівняння має два дійсних коренів:$$t_1 = \dfrac{17 + \sqrt{225}}{2\cdot1} = 16; t_2 = \dfrac{17 - \sqrt{225}}{2\cdot1} = 1.$$Повертаємось до змінної $$x$$:$$x^4 = 16;$$$$x^4 = 1.$$З першого рівняння маємо $$x_{1,2} = \pm 2$$, а з другого — $$x_{3,4} = \pm 1$$.Відповідь. $$x \in \{\pm 1; \pm2\}$$.

Розв'язати рівняння: $$x^4-16x^2-225=0$$ $$x=5$$ $$x=-5$$ $$x=0$$ $$x=1$$ $$x=-1$$ $$x=3$$ $$x=-3$$

Зробимо заміну $$y = x^2$$, тоді біквадратне рівняння матиме вигляд:

$$y^2-16y-225=0$$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

$$D=(-16)^2-4\cdot1\cdot(-225)=256+900=1156$$

Через те, що дискримінант більше нуля, квадратне рівняння має два дійсних кореня:

$$y_{1,2}=\dfrac{16\pm34}{2\cdot1}={25,-9}$$

Маємо два квадратних рівняння:

$$(1) x^2=-9$$

$$(2) x^2=25$$

Перше квадратне рівняння не має дійсних коренів. Друге квадратне рівняння має два дійсних кореня:

$$x_{1,2}=\pm5$$

Розв'язати рівняння: $$x^4+97x^2+1296=0$$ $$x \in \emptyset$$ $$x=0$$ $$x=4$$ $$x=-4$$ $$x=-5$$ $$x=7$$ $$x=-7$$

Зробимо заміну \(y = x^2\), тоді біквадратне рівняння матиме вигляд:

$$y^2+97y+1296=0$$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

$$D=(97)^2-4\cdot1\cdot1296=9409-5184=4225$$

Через те, що дискримінант більше нуля, квадратне рівняння має два дійсних кореня:

$$y_{1,2}=\dfrac{-97\pm65}{2\cdot1}={-81,-16}$$

Маємо два квадратних рівняння:

$$(1) x^2=-81$$

$$(2) x^2=-16$$

Перше і друге квадратні рівняння не мають дійсних коренів.

$$x \in \emptyset$$

PreviousТеорема ВiєтаNextIншi види цiлих рiвнянь

Last updated 6 years ago

Was this helpful?