# Бiквадратнi рiвняння, та рівняння, що зводяться до квадратних

 Визначення **Біквадратне рівняння** — це рівняння вигляду $$ax^4 + bx^2 + c = 0$$, де $$x$$ — змінна, а числа $$a$$, $$b$$ та $$c$$ — відомі, при чому $$a \neq 0$$.

Взагалі будь-яке рівняння вигляду $$ax^{2n} + bx^n + c =0$$ (в тому числі і біквадратне) можна звести до квадратного заміною $$x^n = t$$ (для біквадратного $$x^2 = t$$).

 Приклад

$$2x^4 + 4x^2 - 48 = 0$$.

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв'язок.**Зробимо заміну $$x^2 = t$$:$$2t^2 + 4t - 48 = 0.$$Шукаємо дискримінант: $$D = (4)^2 - 4\cdot2\cdot(-48) = 16 + 384 = 400 > 0$$, отже, рівняння має два дійсних коренів:$$t\_1 = \dfrac{-4 + \sqrt{400}}{2\cdot2} = 4; t\_2 = \dfrac{-4 - \sqrt{400}}{2\cdot2} = -6.$$Повертаємось до змінної $$x$$:$$x^2 = 4;$$$$x^2 = -6.$$З першого рівняння маємо $$x\_{1,2} = \pm 2$$, а з другого — $$x \in \emptyset$$.**Відповідь.** $$x\_{1,2} = \pm 2$$.

 Приклад

$$x^8 - 17x^4 + 16 = 0$$.

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв'язок.**Зробимо заміну $$x^4 = t$$:$$t^2 - 17t + 16 = 0.$$Шукаємо дискримінант: $$D = (-17)^2 - 4\cdot1\cdot16 = 289 - 64 = 225 > 0$$, отже, рівняння має два дійсних коренів:$$t\_1 = \dfrac{17 + \sqrt{225}}{2\cdot1} = 16; t\_2 = \dfrac{17 - \sqrt{225}}{2\cdot1} = 1.$$Повертаємось до змінної $$x$$:$$x^4 = 16;$$$$x^4 = 1.$$З першого рівняння маємо $$x\_{1,2} = \pm 2$$, а з другого — $$x\_{3,4} = \pm 1$$.**Відповідь.** $$x \in \\{\pm 1; \pm2\\}$$.

Розв'язати рівняння: $$x^4-16x^2-225=0$$ $$x=5$$ $$x=-5$$ $$x=0$$ $$x=1$$ $$x=-1$$ $$x=3$$ $$x=-3$$

Зробимо заміну $$y = x^2$$, тоді біквадратне рівняння матиме вигляд:

$$y^2-16y-225=0$$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

$$D=(-16)^2-4\cdot1\cdot(-225)=256+900=1156$$

Через те, що дискримінант більше нуля, квадратне рівняння має два дійсних кореня:

$$y\_{1,2}=\dfrac{16\pm34}{2\cdot1}={25,-9}$$

Маємо два квадратних рівняння:

$$(1) x^2=-9$$

$$(2) x^2=25$$

Перше квадратне рівняння не має дійсних коренів. Друге квадратне рівняння має два дійсних кореня:

$$x\_{1,2}=\pm5$$

Розв'язати рівняння: $$x^4+97x^2+1296=0$$ $$x \in \emptyset$$ $$x=0$$ $$x=4$$ $$x=-4$$ $$x=-5$$ $$x=7$$ $$x=-7$$

Зробимо заміну \\(y = x^2\\), тоді біквадратне рівняння матиме вигляд:

$$y^2+97y+1296=0$$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

$$D=(97)^2-4\cdot1\cdot1296=9409-5184=4225$$

Через те, що дискримінант більше нуля, квадратне рівняння має два дійсних кореня:

$$y\_{1,2}=\dfrac{-97\pm65}{2\cdot1}={-81,-16}$$

Маємо два квадратних рівняння:

$$(1) x^2=-81$$

$$(2) x^2=-16$$

Перше і друге квадратні рівняння не мають дійсних коренів.

$$x \in \emptyset$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/zagaln_vdomost-1/bikvadratni_rivnyannya-_ta_rvnyannya-_scho_zvodyatsya_do_kvadratnih.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.