Раціональні нерівності

Бурдж Халіфа – найвища споруда в світі, що розташована в місті Дубай, Об’єднані Арабські Емірати. Вона сягає метрів і складається зі поверхів. Вежу можна побачити з відстані км!

Бейс-джампінг – екстремальний вид спорту. B.A.S.E. – скорочення слів Building, Antenna, Span, Earth – об’єктів, з яких стрибають бейс-джампери. В році двоє французьких джамперів Фред Ф’юген та Вінс Реффет встановили новий рекорд Гіннеса - найвищий бейс-стрибок з будівлі – метрів. Вони стрибнули з самісінької кінцівки шпиля Бурдж-Халіфи.

Пропоную подивитися відеозапис стрибка. Вражає, чи не так?

А тепер спробуємо описати цей стрибок математично. На примітивному рівні, звичайно. Висота Бурдж Халіфи – метрів. Залежність висоти від часу при вільному падінні описується квадратичною функцією:

– прискорення вільного падіння, – початкова висота, – початкова швидкість.

У випадку наших джамперів: ,

У результаті маємо:

З відео можна помітити, що хлопці розкривають парашути на висоті близько метрів. За інформацією з інтернет-форумів для джамперів, стало зрозуміло, що ця висота є критичною: якщо розкрити парашут нижче, такий стрибок може стати фатальним.

Час, який є у джамперів для того, щоб розкрити парашут безпечно для життя, можна визначити з нерівності:

Значення перетворюють функцію в лівій частині нерівності на нуль і розбивають числову вісь на три проміжки:

Розглянемо знаки, які прийматимуть множники лівої частини:

Відповідно вся ліва частина має знаки:

Бачимо, що при переході крізь точки функція змінює свій знак.

Нам потрібен той інтервал, де функція є від’ємною – тобто .

Тепер потрібно включити здоровий глузд і згадати, що час – величина невід’ємна (про квантову фізику та проблему 2038 року поговоримо якось іншим разом), тому треба накласти додаткову умову: .

В результаті маємо підсумковий розв’язок:

Отже, ці бентежні хлопці мали трохи більше, ніж секунд для того, щоб насолодитися вільним падінням безпечно для життя.

На перший погляд, це мало часу, але в нашому світі все відносне. Ось, наприклад, цей хлопчина за той саме час ( секунди) зробив оплесків долонями, а всього за хвилину – ! Також погляньте на ось таку підбірку найшвидших збирань кубика Рубика. Вражає, чи не так?

Тепер перейдемо до розгляду раціональних нерівностей.

Визначення
Раціональна нерівність — це нерівність вигляду або або або , де – многочлен, а – змінна.

Наприклад:

Якою на вашу думку була швидкість стрибунів на момент відкриття парашуту?

м/с м/с м/с м/с