> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://math.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://math.ed-era.com/teorema_bezu/tsili_ratsionalni_rivnyannya_vischih_stepenv/metod_zamni_zmnno.md).

# Метод заміни змінної

Цей метод вже використовували для розв’язання біквадратних рівнянь.

В загальному випадку метод заміни змінної полягає ось у чому:

1. Для розв’язання рівняння $$P(x)=0$$ вводимо нову змінну $$t=f(x)$$.
2. Після цього $$P(x)$$ виражається через $$t$$, і в результаті записують нове рівняння $$Q(t)=0$$. Заміна повинна бути такою, щоб рівняння $$Q(t)=0$$ було простішим у розв’язанні за вихідне $$P(x)=0$$.
3. В результаті розв’язання нового рівняння $$Q(t)=0$$ знайдені корені $$t\_1, t\_2,\dots, t\_m$$.
4. Тепер розв'язуємо сукупність рівнянь:$$\left\[ \begin{gathered} f(x) = t\_1, \hfill \\\ f(x) = t\_2, \hfill \\\ \cdots \hfill \\\ f(x) = t\_m. \hfill \end{gathered} \right.$$
5. В результаті розв’язання всіх рівнянь сукупності знаходять множину розв’язків вихідного рівняння $$P(x)=0$$: $$x\_1,x\_2,\dots,x\_n$$.

Універсальних правил для відшукання заміни немає, все залежить від конкретного прикладу.

 Приклад

Розв’язати рівняння $$(2x-5)^4-5(2x-5)^2+4=0$$.

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв'язок.**\
Покладемо $$t=(2x-5)^2$$, тоді вихідне рівняння зводиться до:$$t^2-5t+4=0.$$За т. Вієта, $$t\_1 + t\_2=5;t\_1\cdot t\_2=4$$. Ці умови задовольняють корені: $$t\_1=1; t\_2=4$$.Тепер, повернувшись до вихідної змінної, потрібно розв’язати сукупність рівнянь:$$\left\[ \begin{gathered} (2x-5)^2=1, \hfill \\\ (2x-5)^2=4; \hfill \\\ \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left\[ \begin{gathered} |2x-5|=1, \hfill \\\ |2x-5|=2; \hfill \\\ \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left\[ \begin{gathered} 2x-5=1, \hfill \\\ 2x-5=-1, \hfill \\\ 2x-5=2, \hfill \\\ 2x-5=-2; \hfill \\\ \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left\[ \begin{gathered} x=3, \hfill \\\ x=2, \hfill \\\ x=3,5, \hfill \\\ x=1,5. \hfill \\\ \end{gathered} \right.$$**Відповідь.** $$\\{1,5; 2; 3; 3,5\\}.$$

Якщо у рівняннях вигляду $$(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=e$$ виконується рівність $$a+b=c+d=k$$ або інших пар цих чисел, зручно розкрити дужки, згрупувавши множники попарно (при рівності $$a+b=c+d$$ — перший з другим, та третій з четвертим) та скористатись заміною вигляду: $$t=x^2+kx$$.

 Приклад

Розв’язати рівняння $$(x-1)(x+2)(x+4)(x+1)=-5$$.

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв'язок.**\
Розкриємо дужки, групуючи перший множник з третім та другий з останнім. Рівняння набуде вигляду:$$(x^2+3x-4)(x^2+3x+2)=-5.$$Робимо заміну $$t=x^2+3x$$, отримуємо таке рівняння:$$(t-4)(t+2)=-5 \Longleftrightarrow t^2-2t-3=0.$$За т. Вієта, $$t\_1+t\_2=2;t\_1\cdot t\_2=-3$$. Ці умови задовольняють корені: $$t\_1=3; t\_2=-1$$.Тепер, повернувшись до вихідної змінної, потрібно розв’язати сукупність рівнянь:$$\left\[ \begin{gathered} x^2+3x=3, \hfill \\\ x^2+3x=-1. \hfill \end{gathered} \right.$$Розв’язуємо перше рівняння: $$x^2+3x-3=0$$.Шукаємо дискримінант: $$D=(3)^2 - 4\cdot1\cdot(-3) = 21 > 0$$, отже, рівняння має два дійсних корені:$$x\_1 = \dfrac{-3 + \sqrt{21}}{2}; x\_2 = \dfrac{-3 - \sqrt{21}}{2}.$$Переходимо до другого рівняння: $$x^2+3x+1=0$$.Шукаємо дискримінант: $$D=(3)^2 - 4\cdot1\cdot1 = 5 > 0$$, отже, рівняння має два дійсних корені:$$x\_3 = \dfrac{-3 + \sqrt{5}}{2}; x\_4 = \dfrac{-3 - \sqrt{5}}{2}.$$**Відповідь.** $$\\{\dfrac{-3 \pm \sqrt{21}}{2};\dfrac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}\\}$$

Якою заміною скористатись при розв’язанні рівняння $$11x^4-12=4(9-3x^3)$$? $$t=x^2$$ $$t=−x$$ $$t=x^4$$ $$t=-2x^3$$