Метод заміни змінної
Цей метод вже використовували для розв’язання біквадратних рівнянь.
В загальному випадку метод заміни змінної полягає ось у чому:
  1. 1.
    Для розв’язання рівняння $P(x)=0$ вводимо нову змінну $t=f(x)$.
  2. 2.
    Після цього $P(x)$ виражається через $t$, і в результаті записують нове рівняння $Q(t)=0$. Заміна повинна бути такою, щоб рівняння $Q(t)=0$ було простішим у розв’язанні за вихідне $P(x)=0$.
  3. 3.
    В результаті розв’язання нового рівняння $Q(t)=0$ знайдені корені $t_1, t_2,\dots, t_m$.
  4. 4.
    Тепер розв'язуємо сукупність рівнянь:$\left[ \begin{gathered} f(x) = t_1, \hfill \\ f(x) = t_2, \hfill \\ \cdots \hfill \\ f(x) = t_m. \hfill \end{gathered} \right.$
  5. 5.
    В результаті розв’язання всіх рівнянь сукупності знаходять множину розв’язків вихідного рівняння $P(x)=0$: $x_1,x_2,\dots,x_n$.
Універсальних правил для відшукання заміни немає, все залежить від конкретного прикладу.
Приклад
Розв’язати рівняння $(2x-5)^4-5(2x-5)^2+4=0$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок. Покладемо $t=(2x-5)^2$, тоді вихідне рівняння зводиться до:$t^2-5t+4=0.$За т. Вієта, $t_1 + t_2=5;t_1\cdot t_2=4$. Ці умови задовольняють корені: $t_1=1; t_2=4$.Тепер, повернувшись до вихідної змінної, потрібно розв’язати сукупність рівнянь:$\left[ \begin{gathered} (2x-5)^2=1, \hfill \\ (2x-5)^2=4; \hfill \\ \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} |2x-5|=1, \hfill \\ |2x-5|=2; \hfill \\ \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x-5=1, \hfill \\ 2x-5=-1, \hfill \\ 2x-5=2, \hfill \\ 2x-5=-2; \hfill \\ \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=3, \hfill \\ x=2, \hfill \\ x=3,5, \hfill \\ x=1,5. \hfill \\ \end{gathered} \right.$Відповідь. $\{1,5; 2; 3; 3,5\}.$
Якщо у рівняннях вигляду $(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=e$ виконується рівність $a+b=c+d=k$ або інших пар цих чисел, зручно розкрити дужки, згрупувавши множники попарно (при рівності $a+b=c+d$ — перший з другим, та третій з четвертим) та скористатись заміною вигляду: $t=x^2+kx$.
Приклад
Розв’язати рівняння $(x-1)(x+2)(x+4)(x+1)=-5$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок. Розкриємо дужки, групуючи перший множник з третім та другий з останнім. Рівняння набуде вигляду:$(x^2+3x-4)(x^2+3x+2)=-5.$Робимо заміну $t=x^2+3x$, отримуємо таке рівняння:$(t-4)(t+2)=-5 \Longleftrightarrow t^2-2t-3=0.$За т. Вієта, $t_1+t_2=2;t_1\cdot t_2=-3$. Ці умови задовольняють корені: $t_1=3; t_2=-1$.Тепер, повернувшись до вихідної змінної, потрібно розв’язати сукупність рівнянь:$\left[ \begin{gathered} x^2+3x=3, \hfill \\ x^2+3x=-1. \hfill \end{gathered} \right.$Розв’язуємо перше рівняння: $x^2+3x-3=0$.Шукаємо дискримінант: $D=(3)^2 - 4\cdot1\cdot(-3) = 21 > 0$, отже, рівняння має два дійсних корені:$x_1 = \dfrac{-3 + \sqrt{21}}{2}; x_2 = \dfrac{-3 - \sqrt{21}}{2}.$Переходимо до другого рівняння: $x^2+3x+1=0$.Шукаємо дискримінант: $D=(3)^2 - 4\cdot1\cdot1 = 5 > 0$, отже, рівняння має два дійсних корені:$x_3 = \dfrac{-3 + \sqrt{5}}{2}; x_4 = \dfrac{-3 - \sqrt{5}}{2}.$Відповідь. $\{\dfrac{-3 \pm \sqrt{21}}{2};\dfrac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}\}$
Якою заміною скористатись при розв’язанні рівняння $11x^4-12=4(9-3x^3)$? $t=x^2$ $t=−x$ $t=x^4$ $t=-2x^3$
Last modified 2yr ago
Copy link