# Метод заміни змінної

Цей метод вже використовували для розв’язання біквадратних рівнянь.

В загальному випадку метод заміни змінної полягає ось у чому:

1. Для розв’язання рівняння $$P(x)=0$$ вводимо нову змінну $$t=f(x)$$.
2. Після цього $$P(x)$$ виражається через $$t$$, і в результаті записують нове рівняння $$Q(t)=0$$. Заміна повинна бути такою, щоб рівняння $$Q(t)=0$$ було простішим у розв’язанні за вихідне $$P(x)=0$$.
3. В результаті розв’язання нового рівняння $$Q(t)=0$$ знайдені корені $$t\_1, t\_2,\dots, t\_m$$.
4. Тепер розв'язуємо сукупність рівнянь:$$\left\[ \begin{gathered} f(x) = t\_1, \hfill \\\ f(x) = t\_2, \hfill \\\ \cdots \hfill \\\ f(x) = t\_m. \hfill \end{gathered} \right.$$
5. В результаті розв’язання всіх рівнянь сукупності знаходять множину розв’язків вихідного рівняння $$P(x)=0$$: $$x\_1,x\_2,\dots,x\_n$$.

Універсальних правил для відшукання заміни немає, все залежить від конкретного прикладу.

 Приклад

Розв’язати рівняння $$(2x-5)^4-5(2x-5)^2+4=0$$.

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв'язок.**\
Покладемо $$t=(2x-5)^2$$, тоді вихідне рівняння зводиться до:$$t^2-5t+4=0.$$За т. Вієта, $$t\_1 + t\_2=5;t\_1\cdot t\_2=4$$. Ці умови задовольняють корені: $$t\_1=1; t\_2=4$$.Тепер, повернувшись до вихідної змінної, потрібно розв’язати сукупність рівнянь:$$\left\[ \begin{gathered} (2x-5)^2=1, \hfill \\\ (2x-5)^2=4; \hfill \\\ \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left\[ \begin{gathered} |2x-5|=1, \hfill \\\ |2x-5|=2; \hfill \\\ \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left\[ \begin{gathered} 2x-5=1, \hfill \\\ 2x-5=-1, \hfill \\\ 2x-5=2, \hfill \\\ 2x-5=-2; \hfill \\\ \end{gathered} \right. \Longleftrightarrow \left\[ \begin{gathered} x=3, \hfill \\\ x=2, \hfill \\\ x=3,5, \hfill \\\ x=1,5. \hfill \\\ \end{gathered} \right.$$**Відповідь.** $$\\{1,5; 2; 3; 3,5\\}.$$

Якщо у рівняннях вигляду $$(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=e$$ виконується рівність $$a+b=c+d=k$$ або інших пар цих чисел, зручно розкрити дужки, згрупувавши множники попарно (при рівності $$a+b=c+d$$ — перший з другим, та третій з четвертим) та скористатись заміною вигляду: $$t=x^2+kx$$.

 Приклад

Розв’язати рівняння $$(x-1)(x+2)(x+4)(x+1)=-5$$.

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв'язок.**\
Розкриємо дужки, групуючи перший множник з третім та другий з останнім. Рівняння набуде вигляду:$$(x^2+3x-4)(x^2+3x+2)=-5.$$Робимо заміну $$t=x^2+3x$$, отримуємо таке рівняння:$$(t-4)(t+2)=-5 \Longleftrightarrow t^2-2t-3=0.$$За т. Вієта, $$t\_1+t\_2=2;t\_1\cdot t\_2=-3$$. Ці умови задовольняють корені: $$t\_1=3; t\_2=-1$$.Тепер, повернувшись до вихідної змінної, потрібно розв’язати сукупність рівнянь:$$\left\[ \begin{gathered} x^2+3x=3, \hfill \\\ x^2+3x=-1. \hfill \end{gathered} \right.$$Розв’язуємо перше рівняння: $$x^2+3x-3=0$$.Шукаємо дискримінант: $$D=(3)^2 - 4\cdot1\cdot(-3) = 21 > 0$$, отже, рівняння має два дійсних корені:$$x\_1 = \dfrac{-3 + \sqrt{21}}{2}; x\_2 = \dfrac{-3 - \sqrt{21}}{2}.$$Переходимо до другого рівняння: $$x^2+3x+1=0$$.Шукаємо дискримінант: $$D=(3)^2 - 4\cdot1\cdot1 = 5 > 0$$, отже, рівняння має два дійсних корені:$$x\_3 = \dfrac{-3 + \sqrt{5}}{2}; x\_4 = \dfrac{-3 - \sqrt{5}}{2}.$$**Відповідь.** $$\\{\dfrac{-3 \pm \sqrt{21}}{2};\dfrac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}\\}$$

Якою заміною скористатись при розв’язанні рівняння $$11x^4-12=4(9-3x^3)$$? $$t=x^2$$ $$t=−x$$ $$t=x^4$$ $$t=-2x^3$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/teorema_bezu/tsili_ratsionalni_rivnyannya_vischih_stepenv/metod_zamni_zmnno.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.