Математика: арифметика, рівняння та нерівності
  • Зміст
  • Вступне слово
  • Арифметика
    • Прості та складені числа
    • Ознаки подiльностi натуральних чисел
    • Дроби та дiї над ними
    • Модуль числа
  • Пропорції та відсотки
    • Відсотки
    • Розв’язання задач на спiльну виконану роботу (задачi на продуктивнiсть)
  • Одночлени та многочлени
    • Одночлен
    • Многочлен
    • Дiї над многочленами
    • Формули скороченого множення
    • Розкладання многочлена на множники
    • Бiном Ньютона
  • Корiнь та його властивостi
    • Квадратний корiнь та його основнi властивостi
    • Корінь n-го степеня та його основні властивості
    • Ірраціональні вирази
      • Доповнюючий множник
      • Звiльнення вiд iррацiональностi у знаменнику (чисельнику) iррацiонального дробу
      • Доповнюючi множники для основних типiв iррацiональностей у знаменнику (чисельнику)
    • Додаток
  • Показниковi та логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифм
    • Логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифмування та потенцiювання
  • Системи алгебраїчних рiвнянь
    • Метод підстановки
    • Метод алгебраїчного додавання
    • Метод заміни змінної
  • Лiнiйнi та квадратнi рiвняння
    • Лiнiйнi рiвняння
    • Квадратнi рiвняння
      • Неповні квадратні рівняння
      • Повне квадратне рівняння та дискримiнант
      • Факторизація квадратного рівняння (розкладання на множники)
      • Теорема Вiєта
    • Бiквадратнi рiвняння, та рівняння, що зводяться до квадратних
  • Iншi види цiлих рiвнянь
    • Цiлi рацiональнi рiвняння вищих степенів
      • Метод підбору коренів
      • Метод заміни змінної
    • Рiвняння з модулями
      • Метод інтервалів
    • Рівняння з параметрами
      • Лінійне рiвняння з параметрами
      • Квадратне рівняння з параметрами
  • Цілі нерівності
    • Основні властивості
    • Лiнiйнi нерiвностi
    • Система та сукупність нерівностей
    • Нерiвностi з модулями
  • Метод інтервалів
    • Метод інтервалів
    • Дробово-рацiональнi нерiвності
    • Нерiвностi з параметрами
  • Дробово-раціональні рівняння
    • Дробово-раціональне рівняння
    • Раціональні рівняння з параметрами
  • Ірраціональні рівняння
    • Корабель на горизонтi
    • Iррацiональнi рiвняння з квадратним коренем
    • Корабль поза горизонтом
  • Ірраціональні нерівності
    • Метод відокремлення кореня
    • Методологiя розв’язання в залежностi вiд парності/непарностi степеня кореня
    • Метод iнтервалiв для iррацiональних нерiвностей
    • Нерiвностi з параметрами
  • Показникові рівняння
    • Вік Землі та скам’янілостей
    • Показникові рівняння
    • Показникові нерівності
    • Степенево-показникові рівняння
    • Зведення до однiєї основи
      • Показникові рівняння
    • Винесення множника
    • Рiвняння особливих видiв
    • Використання властивостей функцiй (монотонностi)
    • Показниково - степеневi рiвняння
    • Рiвняння з параметрами
    • Системи рівнянь
  • Показникові нерівності
    • Властивостi показникової функцiї та класифікація типiв задач
    • Методи розв’язання окремих типiв задач
    • Степенево - показниковi нерiвностi
  • Логарифмічні рівняння
    • Логарифмiчнi рiвняння
    • Логарифмування та потенцiювання
    • Використання логарифмiчних тотожностей для розв’язання окремих типiв задач
    • Системи рівнянь
  • Логарифмічні нерівності
    • Використання властивостей логарифмiв для розв’язання рiзних типiв задач
    • Замiна змiнної в логарифмiчних нерiвностях
    • Показниково-логарифмiчнi нерiвностi
    • Нерiвностi з параметрами
Powered by GitBook
On this page

Was this helpful?

  1. Системи алгебраїчних рiвнянь

Метод заміни змінної

Інколи зручно зробити заміну змінних, але її вигляд залежить від конкретного прикладу.

Часто користуються заміною:

$$\begin{cases} x + y = u,\\ x\cdot y = v. \end{cases}$$

Приклад

Розв’язати систему рівнянь $$\begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 4,\\ x + y + xy = 3. \end{cases}$$

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Зробимо заміну змінних: $$\begin{cases} x + y = u,\\ x\cdot y = v. \end{cases}.$$Перетворимо вирази з лівої частини першого рівняння:$$x^2 + y^2 + x + y = x^2 + y^2 + 2xy - 2xy + x + y = (x + y)^2 + x + y - 2xy = u^2 + u - 2v.$$Тепер можна записати:$$\begin{cases} u^2 + u - 2v = 4,\\ u + v = 3. \end{cases}.$$Скористаємось методом додавання: помножимо друге рівняння на $$2$$ та додамо до першого:$$\begin{cases} u^2 + u - 2v = 4,\\ u + v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} u^2 + u - 2v + 2(u + v)= 4 + 2\cdot3,\\ u + v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} u^2 + 3u - 10= 0,\\ u + v = 3. \end{cases}$$Розв’яжемо перше рівняння та знайдемо $$u$$.За т. Вієта $$u_1 + u_2 = -3; u_1u_2 = -10.$$Ці умови задовольняють корені: $$u_1 = -5; u_2 = 2.$$Тепер потрібно розв’язати дві системи рівнянь:$$u = -5: \begin{cases} u = -5,\\ u + v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} u = -5,\\ v = 8; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x + y = -5,\\ xy = 8. \end{cases}$$Тут можна скористатись методом підстановки, але простіше — згадати т. Вієта. Нехай $$t = x$$ та $$t = y$$ — корені квадратного рівняння:$$t^2 + 5t + 8 = 0.$$Шукаємо дискримінант: $$D = 5^2 - 4\cdot1\cdot8 = 25 - 32 = -7$$u = 2: \begin{cases} u = 2,\\ u + v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} u = 2,\\ v = 1; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x + y = 2,\\ xy = 1. \end{cases}$$Тут також скористаємося т. Вієта, як і в попередньому випадку. Нехай $$t = x$$ та $$t = y$$ — корені квадратного рівняння:$$t^2 - 2t + 1 = 0 \Longleftrightarrow (t - 1)^2 = 0 \Longleftrightarrow t = 1.$$Маємо два рівних корені: $$t = x = y = 1.$$Відповідь. $$(1; 1).$$

Приклад

Розв’язати систему рівнянь: $$\begin{cases} x^4 + x^2 = 92 - y^4 - y^2,\\ x\cdot y = 4. \end{cases}$$

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Робимо рівносильні переходи:$$\begin{cases} x^4 + x^2 = 92 - y^4 - y^2,\\ x\cdot y = 4; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x^4 + y^4 + x^2 + y^2 = 92,\\ x\cdot y = 4. \end{cases}$$Зробимо заміну змінних: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = u,\\ x\cdot y = v. \end{cases}$$Перетворимо вирази з лівої частини першого рівняння:$$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = u^2 - 2v^2.$$Тепер можна записати:$$\begin{cases} u^2 - 2v^2 + u = 92,\\ v = 3. \end{cases}$$Підставляємо $$v = 3$$ в перше рівняння:$$u^2 - 18 + u = 92 \Longleftrightarrow u^2 + u - 100 = 0.$$Шукаємо дискримінант: $$D = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-110) = 441 > 0$$, отже, рівняння має два дійсних корені:$$u_1 = \dfrac{-1 + \sqrt{441}}{2} = 10; u_2 = \dfrac{-1 - \sqrt{441}}{2} = -11.$$Від’ємний корінь відкидаємо, бо $$u = x^2 + y^2 \geq 0$$ — завжди невід’ємна величина.В результаті:$$\begin{cases} u = 10,\\ v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 = 10,\\ xy = 3. \end{cases}$$Скористаємось методом додавання: помножимо друге рівняння на $$2$$, а тоді додамо і віднімемо від першого рівняння:$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10,\\ xy = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 + 2xy = 10 + 2\cdot3,\\ x^2 + y^2 - 2xy = 10 - 2\cdot3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} (x + y)^2 = 16,\\ (x - y)^2 = 4; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} |x + y| = 4,\\ |x - y| = 2. \end{cases}$$Потрібно розглянути чотири випадки:$$x + y > 0, x - y > 0$$: $$\begin{cases} x + y = 4,\\ x - y = 2. \end{cases}$$Складаємо та віднімаємо рівняння:$$\begin{cases} x + y = 4,\\ x - y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 2x = 6,\\ 2y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_1 = 3,\\ y_1 = 1. \end{cases}$$$$x + y > 0, x - yСкладаємо та віднімаємо рівняння:$$\begin{cases} x + y = 4,\\ -x + y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 2x = 2,\\ 2y = 6; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_2 = 1,\\ y_2 = 3. \end{cases}$$$$x + yСкладаємо та віднімаємо рівняння:$$\begin{cases} -x - y = 4,\\ -x + y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} -2x = 6,\\ -2y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_3 = -3,\\ y_3 = -1. \end{cases}$$$$x + y 0$$: $$\begin{cases} -(x + y) = 4,\\ x - y = 2. \end{cases}$$Складаємо та віднімаємо рівняння:$$\begin{cases} -x - y = 4,\\ x - y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} -2x = 2,\\ -2y = 6; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_4 = -1,\\ y_4 = -3. \end{cases}$$Відповідь. $$\{(3; 1), (1; 3), (-3; -1), (-1; -3)\}.$$

Якою заміною доречно скористатись під час розв’язання системи рівнянь? $$\begin{cases}x^2-y^2=1, \\ x^2+y^2-2xy=1. \end{cases}$$ $$u=x^2, v=y^2$$ $$u=x^2-y^2, v=x^2+y^2$$ $$u=x+y, v=x-y$$ $$u=x^2+xy, v=y^2+xy$$

PreviousМетод алгебраїчного додаванняNextЛiнiйнi та квадратнi рiвняння

Last updated 6 years ago

Was this helpful?