Метод заміни змінної
Інколи зручно зробити заміну змінних, але її вигляд залежить від конкретного прикладу.
Часто користуються заміною:
$\begin{cases} x + y = u,\\ x\cdot y = v. \end{cases}$
Приклад
Розв’язати систему рівнянь $\begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 4,\\ x + y + xy = 3. \end{cases}$
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Зробимо заміну змінних: $\begin{cases} x + y = u,\\ x\cdot y = v. \end{cases}.$Перетворимо вирази з лівої частини першого рівняння:$x^2 + y^2 + x + y = x^2 + y^2 + 2xy - 2xy + x + y = (x + y)^2 + x + y - 2xy = u^2 + u - 2v.$Тепер можна записати:$\begin{cases} u^2 + u - 2v = 4,\\ u + v = 3. \end{cases}.$Скористаємось методом додавання: помножимо друге рівняння на $2$ та додамо до першого:$\begin{cases} u^2 + u - 2v = 4,\\ u + v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} u^2 + u - 2v + 2(u + v)= 4 + 2\cdot3,\\ u + v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} u^2 + 3u - 10= 0,\\ u + v = 3. \end{cases}$Розв’яжемо перше рівняння та знайдемо $u$.За т. Вієта $u_1 + u_2 = -3; u_1u_2 = -10.$Ці умови задовольняють корені: $u_1 = -5; u_2 = 2.$Тепер потрібно розв’язати дві системи рівнянь:$u = -5: \begin{cases} u = -5,\\ u + v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} u = -5,\\ v = 8; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x + y = -5,\\ xy = 8. \end{cases}$Тут можна скористатись методом підстановки, але простіше — згадати т. Вієта. Нехай $t = x$ та $t = y$ — корені квадратного рівняння:$t^2 + 5t + 8 = 0.$Шукаємо дискримінант: $D = 5^2 - 4\cdot1\cdot8 = 25 - 32 = -7$u = 2: \begin{cases} u = 2,\\ u + v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} u = 2,\\ v = 1; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x + y = 2,\\ xy = 1. \end{cases}$Тут також скористаємося т. Вієта, як і в попередньому випадку. Нехай $t = x$ та $t = y$ — корені квадратного рівняння:$t^2 - 2t + 1 = 0 \Longleftrightarrow (t - 1)^2 = 0 \Longleftrightarrow t = 1.$Маємо два рівних корені: $t = x = y = 1.$Відповідь. $(1; 1).$
Приклад
Розв’язати систему рівнянь: $\begin{cases} x^4 + x^2 = 92 - y^4 - y^2,\\ x\cdot y = 4. \end{cases}$
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Робимо рівносильні переходи:$\begin{cases} x^4 + x^2 = 92 - y^4 - y^2,\\ x\cdot y = 4; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x^4 + y^4 + x^2 + y^2 = 92,\\ x\cdot y = 4. \end{cases}$Зробимо заміну змінних: $\begin{cases} x^2 + y^2 = u,\\ x\cdot y = v. \end{cases}$Перетворимо вирази з лівої частини першого рівняння:$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = u^2 - 2v^2.$Тепер можна записати:$\begin{cases} u^2 - 2v^2 + u = 92,\\ v = 3. \end{cases}$Підставляємо $v = 3$ в перше рівняння:$u^2 - 18 + u = 92 \Longleftrightarrow u^2 + u - 100 = 0.$Шукаємо дискримінант: $D = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-110) = 441 > 0$, отже, рівняння має два дійсних корені:$u_1 = \dfrac{-1 + \sqrt{441}}{2} = 10; u_2 = \dfrac{-1 - \sqrt{441}}{2} = -11.$Від’ємний корінь відкидаємо, бо $u = x^2 + y^2 \geq 0$ — завжди невід’ємна величина.В результаті:$\begin{cases} u = 10,\\ v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 = 10,\\ xy = 3. \end{cases}$Скористаємось методом додавання: помножимо друге рівняння на $2$, а тоді додамо і віднімемо від першого рівняння:$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10,\\ xy = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 + 2xy = 10 + 2\cdot3,\\ x^2 + y^2 - 2xy = 10 - 2\cdot3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} (x + y)^2 = 16,\\ (x - y)^2 = 4; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} |x + y| = 4,\\ |x - y| = 2. \end{cases}$Потрібно розглянути чотири випадки:$x + y > 0, x - y > 0$: $\begin{cases} x + y = 4,\\ x - y = 2. \end{cases}$Складаємо та віднімаємо рівняння:$\begin{cases} x + y = 4,\\ x - y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 2x = 6,\\ 2y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_1 = 3,\\ y_1 = 1. \end{cases}$$x + y > 0, x - yСкладаємо та віднімаємо рівняння:$\begin{cases} x + y = 4,\\ -x + y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 2x = 2,\\ 2y = 6; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_2 = 1,\\ y_2 = 3. \end{cases}$$x + yСкладаємо та віднімаємо рівняння:$\begin{cases} -x - y = 4,\\ -x + y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} -2x = 6,\\ -2y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_3 = -3,\\ y_3 = -1. \end{cases}$$x + y 0$: $\begin{cases} -(x + y) = 4,\\ x - y = 2. \end{cases}$Складаємо та віднімаємо рівняння:$\begin{cases} -x - y = 4,\\ x - y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} -2x = 2,\\ -2y = 6; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_4 = -1,\\ y_4 = -3. \end{cases}$Відповідь. $\{(3; 1), (1; 3), (-3; -1), (-1; -3)\}.$
Якою заміною доречно скористатись під час розв’язання системи рівнянь? $\begin{cases}x^2-y^2=1, \\ x^2+y^2-2xy=1. \end{cases}$ $u=x^2, v=y^2$ $u=x^2-y^2, v=x^2+y^2$ $u=x+y, v=x-y$ $u=x^2+xy, v=y^2+xy$
Last modified 3yr ago
Copy link