Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Робимо рівносильні переходи:$\begin{cases} x^4 + x^2 = 92 - y^4 - y^2,\\ x\cdot y = 4; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x^4 + y^4 + x^2 + y^2 = 92,\\ x\cdot y = 4. \end{cases}$Зробимо заміну змінних: $\begin{cases} x^2 + y^2 = u,\\ x\cdot y = v. \end{cases}$Перетворимо вирази з лівої частини першого рівняння:$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = u^2 - 2v^2.$Тепер можна записати:$\begin{cases} u^2 - 2v^2 + u = 92,\\ v = 3. \end{cases}$Підставляємо $v = 3$ в перше рівняння:$u^2 - 18 + u = 92 \Longleftrightarrow u^2 + u - 100 = 0.$Шукаємо дискримінант: $D = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-110) = 441 > 0$, отже, рівняння має два дійсних корені:$u_1 = \dfrac{-1 + \sqrt{441}}{2} = 10; u_2 = \dfrac{-1 - \sqrt{441}}{2} = -11.$Від’ємний корінь відкидаємо, бо $u = x^2 + y^2 \geq 0$ — завжди невід’ємна величина.В результаті:$\begin{cases} u = 10,\\ v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 = 10,\\ xy = 3. \end{cases}$Скористаємось методом додавання: помножимо друге рівняння на $2$, а тоді додамо і віднімемо від першого рівняння:$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10,\\ xy = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 + 2xy = 10 + 2\cdot3,\\ x^2 + y^2 - 2xy = 10 - 2\cdot3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} (x + y)^2 = 16,\\ (x - y)^2 = 4; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} |x + y| = 4,\\ |x - y| = 2. \end{cases}$Потрібно розглянути чотири випадки:$x + y > 0, x - y > 0$: $\begin{cases} x + y = 4,\\ x - y = 2. \end{cases}$Складаємо та віднімаємо рівняння:$\begin{cases} x + y = 4,\\ x - y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 2x = 6,\\ 2y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_1 = 3,\\ y_1 = 1. \end{cases}$$x + y > 0, x - yСкладаємо та віднімаємо рівняння:$\begin{cases} x + y = 4,\\ -x + y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 2x = 2,\\ 2y = 6; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_2 = 1,\\ y_2 = 3. \end{cases}$$x + yСкладаємо та віднімаємо рівняння:$\begin{cases} -x - y = 4,\\ -x + y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} -2x = 6,\\ -2y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_3 = -3,\\ y_3 = -1. \end{cases}$$x + y 0$: $\begin{cases} -(x + y) = 4,\\ x - y = 2. \end{cases}$Складаємо та віднімаємо рівняння:$\begin{cases} -x - y = 4,\\ x - y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} -2x = 2,\\ -2y = 6; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_4 = -1,\\ y_4 = -3. \end{cases}$Відповідь. $\{(3; 1), (1; 3), (-3; -1), (-1; -3)\}.$