# Метод заміни змінної Інколи зручно зробити заміну змінних, але її вигляд залежить від конкретного прикладу. Часто користуються заміною: $$\begin{cases} x + y = u,\\\ x\cdot y = v. \end{cases}$$ Приклад Розв’язати систему рівнянь $$\begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 4,\\\ x + y + xy = 3. \end{cases}$$ Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Зробимо заміну змінних: $$\begin{cases} x + y = u,\\\ x\cdot y = v. \end{cases}.$$Перетворимо вирази з лівої частини першого рівняння:$$x^2 + y^2 + x + y = x^2 + y^2 + 2xy - 2xy + x + y = (x + y)^2 + x + y - 2xy = u^2 + u - 2v.$$Тепер можна записати:$$\begin{cases} u^2 + u - 2v = 4,\\\ u + v = 3. \end{cases}.$$Скористаємось методом додавання: помножимо друге рівняння на $$2$$ та додамо до першого:$$\begin{cases} u^2 + u - 2v = 4,\\\ u + v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} u^2 + u - 2v + 2(u + v)= 4 + 2\cdot3,\\\ u + v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} u^2 + 3u - 10= 0,\\\ u + v = 3. \end{cases}$$Розв’яжемо перше рівняння та знайдемо $$u$$.За т. Вієта $$u\_1 + u\_2 = -3; u\_1u\_2 = -10.$$Ці умови задовольняють корені: $$u\_1 = -5; u\_2 = 2.$$Тепер потрібно розв’язати дві системи рівнянь:$$u = -5: \begin{cases} u = -5,\\\ u + v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} u = -5,\\\ v = 8; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x + y = -5,\\\ xy = 8. \end{cases}$$Тут можна скористатись методом підстановки, але простіше — згадати т. Вієта. Нехай $$t = x$$ та $$t = y$$ — корені квадратного рівняння:$$t^2 + 5t + 8 = 0.$$Шукаємо дискримінант: $$D = 5^2 - 4\cdot1\cdot8 = 25 - 32 = -7$$u = 2: \begin{cases} u = 2,\\\ u + v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} u = 2,\\\ v = 1; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x + y = 2,\\\ xy = 1. \end{cases}$$Тут також скористаємося т. Вієта, як і в попередньому випадку. Нехай $$t = x$$ та $$t = y$$ — корені квадратного рівняння:$$t^2 - 2t + 1 = 0 \Longleftrightarrow (t - 1)^2 = 0 \Longleftrightarrow t = 1.$$Маємо два рівних корені: $$t = x = y = 1.$$**Відповідь.** $$(1; 1).$$ Приклад Розв’язати систему рівнянь: $$\begin{cases} x^4 + x^2 = 92 - y^4 - y^2,\\\ x\cdot y = 4. \end{cases}$$ Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Робимо рівносильні переходи:$$\begin{cases} x^4 + x^2 = 92 - y^4 - y^2,\\\ x\cdot y = 4; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x^4 + y^4 + x^2 + y^2 = 92,\\\ x\cdot y = 4. \end{cases}$$Зробимо заміну змінних: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = u,\\\ x\cdot y = v. \end{cases}$$Перетворимо вирази з лівої частини першого рівняння:$$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = u^2 - 2v^2.$$Тепер можна записати:$$\begin{cases} u^2 - 2v^2 + u = 92,\\\ v = 3. \end{cases}$$Підставляємо $$v = 3$$ в перше рівняння:$$u^2 - 18 + u = 92 \Longleftrightarrow u^2 + u - 100 = 0.$$Шукаємо дискримінант: $$D = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-110) = 441 > 0$$, отже, рівняння має два дійсних корені:$$u\_1 = \dfrac{-1 + \sqrt{441}}{2} = 10; u\_2 = \dfrac{-1 - \sqrt{441}}{2} = -11.$$Від’ємний корінь відкидаємо, бо $$u = x^2 + y^2 \geq 0$$ — завжди невід’ємна величина.В результаті:$$\begin{cases} u = 10,\\\ v = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 = 10,\\\ xy = 3. \end{cases}$$Скористаємось методом додавання: помножимо друге рівняння на $$2$$, а тоді додамо і віднімемо від першого рівняння:$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10,\\\ xy = 3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 + 2xy = 10 + 2\cdot3,\\\ x^2 + y^2 - 2xy = 10 - 2\cdot3; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} (x + y)^2 = 16,\\\ (x - y)^2 = 4; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} |x + y| = 4,\\\ |x - y| = 2. \end{cases}$$Потрібно розглянути чотири випадки:$$x + y > 0, x - y > 0$$: $$\begin{cases} x + y = 4,\\\ x - y = 2. \end{cases}$$Складаємо та віднімаємо рівняння:$$\begin{cases} x + y = 4,\\\ x - y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 2x = 6,\\\ 2y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x\_1 = 3,\\\ y\_1 = 1. \end{cases}$$$$x + y > 0, x - yСкладаємо та віднімаємо рівняння:$$\begin{cases} x + y = 4,\\\ -x + y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 2x = 2,\\\ 2y = 6; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x\_2 = 1,\\\ y\_2 = 3. \end{cases}$$$$x + yСкладаємо та віднімаємо рівняння:$$\begin{cases} -x - y = 4,\\\ -x + y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} -2x = 6,\\\ -2y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x\_3 = -3,\\\ y\_3 = -1. \end{cases}$$$$x + y 0$$: $$\begin{cases} -(x + y) = 4,\\\ x - y = 2. \end{cases}$$Складаємо та віднімаємо рівняння:$$\begin{cases} -x - y = 4,\\\ x - y = 2; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} -2x = 2,\\\ -2y = 6; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x\_4 = -1,\\\ y\_4 = -3. \end{cases}$$**Відповідь.** $$\\{(3; 1), (1; 3), (-3; -1), (-1; -3)\\}.$$ Якою заміною доречно скористатись під час розв’язання системи рівнянь? $$\begin{cases}x^2-y^2=1, \\\ x^2+y^2-2xy=1. \end{cases}$$ $$u=x^2, v=y^2$$ $$u=x^2-y^2, v=x^2+y^2$$ $$u=x+y, v=x-y$$ $$u=x^2+xy, v=y^2+xy$$ --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://math.ed-era.com/zagaln_vdomost/metod_zamni_zmnno.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.