Метод інтервалів
Коли рівняння має багато знаків модуля, зручно користуватись методом інтервалів. Цей метод є також базовим під час розв'язання нерівностей.
Алгоритм Метод інтервалів
- 1.Знайти, за яких значень змінної підмодульні вирази рівні нулеві.
- 2.Відкласти ці точки на числовій прямій, розбивши її на проміжки знакосталості.
- 3.Знайти знак підмодульного виразу на кожному проміжку та позначити це на числовій прямій.
- 4.Розв’язати рівняння на кожному проміжку, позбавляючись знаків модуля, враховуючи знаки підмодульного виразу на кожному проміжку.
- 5.Перевірити відповідність знайдених коренів числовому проміжку, на якому розв’язують рівняння.
Приклад
Розв’язати рівняння $|x+1|-|x+3|+|2-x|=4$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок.Йдемо по пунктах алгоритму для методу інтервалів:Вираз $x+1$ рівний нулеві при $x=-1$, $x+3$ при $x=-3$, а $2-x$ при $x=2$.
Відкладаємо значення $-3$, $-1$ та $2$ на числовій прямій.Визначаємо знаки підмодульних виразів на кожному проміжку та позначаємо їх на числовій прямій (знаки стоять у тому ж порядку, що й модулі в рівнянні).$x\in (-\infty;-3)$$x \in[-3;-1)$$x\in [-1;2]$$x\in (2;+\infty)$$x+1$x+1$x+1>0$,$x+1>0$,$x+3$x+3>0$,$x+3>0$,$x+3>0$,$2-x>0$;$2-x>0$;$2-x>0$;$2-xРозв’язуємо рівняння на чотирьох інтервалах, позбавляючись знаків модуля, та перевіряємо відповідність коренів інтервалу:$x\in (-\infty;-3)$Розкриваємо знаки модуля:$-(x+1)-(-(x+3))+(2-x)=4\Longleftrightarrow-x+4=4\Longleftrightarrow x=0$Але $x=0\notin(-\infty;-3)$ — розв’язок лежить не на інтервалі, що розглядаємо, тому $x\in \emptyset$ на даному інтервалі.$x \in[-3;-1)$Розкриваємо знаки модуля:$-(x+1)-(x+3)+(2-x)=4\Longleftrightarrow-3x-2=4\Longleftrightarrow x=-2.$$x=-2\in[-3;-1)$, тому є коренем.$x\in [-1;2]$Розкриваємо знаки модуля:$(x+1)-(x+3)+(2-x)=4\Longleftrightarrow-x=4\Longleftrightarrow x=-4.$Але $x=-4\notin[-1;2]$ – розв’язок лежить не на інтервалі, що розглядаємо, тому $x\in \emptyset$ на даному інтервалі.$x\in (2;+\infty)$Розкриваємо знаки модуля:$(x+1)-(x+3)-(2-x)=4\Longleftrightarrow x-4=4\Longleftrightarrow x=8.$$x=8\in(2;+\infty),$ тому є коренем.Відповідь. $\{-2; 8\}$.
На якому числовому проміжку всі підмодульні вирази рівняння $|2x+2|+|x−1|−|5+x|−|2−x|=10$ є невід’ємними? $(-\infty;-5)$ $(1;2]$ $(-1;1]$ $(2;\infty)$
Last modified 3yr ago
Copy link