Метод інтервалів

Коли рівняння має багато знаків модуля, зручно користуватись методом інтервалів. Цей метод є також базовим під час розв'язання нерівностей.

Алгоритм Метод інтервалів

1. Знайти, за яких значень змінної підмодульні вирази рівні нулеві.

2. Відкласти ці точки на числовій прямій, розбивши її на проміжки знакосталості.

3. Знайти знак підмодульного виразу на кожному проміжку та позначити це на числовій прямій.

4. Розв’язати рівняння на кожному проміжку, позбавляючись знаків модуля, враховуючи знаки підмодульного виразу на кожному проміжку.

5. Перевірити відповідність знайдених коренів числовому проміжку, на якому розв’язують рівняння.

Приклад

Розв’язати рівняння $$|x+1|-|x+3|+|2-x|=4$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок.Йдемо по пунктах алгоритму для методу інтервалів:Вираз $$x+1$$ рівний нулеві при $$x=-1$$, $$x+3$$ при $$x=-3$$, а $$2-x$$ при $$x=2$$. Відкладаємо значення $$-3$$, $$-1$$ та $$2$$ на числовій прямій.Визначаємо знаки підмодульних виразів на кожному проміжку та позначаємо їх на числовій прямій (знаки стоять у тому ж порядку, що й модулі в рівнянні).$$x\in (-\infty;-3)$$$$x \in[-3;-1)$$$$x\in [-1;2]$$$$x\in (2;+\infty)$$$$x+1$$x+1$$x+1>0$$,$$x+1>0$$,$$x+3$$x+3>0$$,$$x+3>0$$,$$x+3>0$$,$$2-x>0$$;$$2-x>0$$;$$2-x>0$$;$$2-xРозв’язуємо рівняння на чотирьох інтервалах, позбавляючись знаків модуля, та перевіряємо відповідність коренів інтервалу:$$x\in (-\infty;-3)$$Розкриваємо знаки модуля:$$-(x+1)-(-(x+3))+(2-x)=4\Longleftrightarrow-x+4=4\Longleftrightarrow x=0$$Але $$x=0\notin(-\infty;-3)$$ — розв’язок лежить не на інтервалі, що розглядаємо, тому $$x\in \emptyset$$ на даному інтервалі.$$x \in[-3;-1)$$Розкриваємо знаки модуля:$$-(x+1)-(x+3)+(2-x)=4\Longleftrightarrow-3x-2=4\Longleftrightarrow x=-2.$$$$x=-2\in[-3;-1)$$, тому є коренем.$$x\in [-1;2]$$Розкриваємо знаки модуля:$$(x+1)-(x+3)+(2-x)=4\Longleftrightarrow-x=4\Longleftrightarrow x=-4.$$Але $$x=-4\notin[-1;2]$$ – розв’язок лежить не на інтервалі, що розглядаємо, тому $$x\in \emptyset$$ на даному інтервалі.$$x\in (2;+\infty)$$Розкриваємо знаки модуля:$$(x+1)-(x+3)-(2-x)=4\Longleftrightarrow x-4=4\Longleftrightarrow x=8.$$$$x=8\in(2;+\infty),$$ тому є коренем.Відповідь. $$\{-2; 8\}$$.

На якому числовому проміжку всі підмодульні вирази рівняння $$|2x+2|+|x−1|−|5+x|−|2−x|=10$$ є невід’ємними? $$(-\infty;-5)$$ $$(1;2]$$ $$(-1;1]$$ $$(2;\infty)$$