Метод інтервалів
Коли рівняння має багато знаків модуля, зручно користуватись методом інтервалів. Цей метод є також базовим під час розв'язання нерівностей.
Алгоритм Метод інтервалів
- 1.Знайти, за яких значень змінної підмодульні вирази рівні нулеві.
- 2.Відкласти ці точки на числовій прямій, розбивши її на проміжки знакосталості.
- 3.Знайти знак підмодульного виразу на кожному проміжку та позначити це на числовій прямій.
- 4.Розв’язати рівняння на кожному проміжку, позбавляючись знаків модуля, враховуючи знаки підмодульного виразу на кожному проміжку.
- 5.Перевірити відповідність знайдених коренів числовому проміжку, на якому розв’язують рівняння.
Приклад
Розв’язати рівняння $$|x+1|-|x+3|+|2-x|=4$$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок.Йдемо по пунктах алгоритму для методу інтервалів:Вираз $$x+1$$ рівний нулеві при $$x=-1$$, $$x+3$$ при $$x=-3$$, а $$2-x$$ при $$x=2$$.
Відкладаємо значення $$-3$$, $$-1$$ та $$2$$ на числовій прямій.Визначаємо знаки підмодульних виразів на кожному проміжку та позначаємо їх на числовій прямій (знаки стоять у тому ж порядку, що й модулі в рівнянні).$$x\in (-\infty;-3)$$$$x \in[-3;-1)$$$$x\in [-1;2]$$$$x\in (2;+\infty)$$$$x+1$$x+1$$x+1>0$$,$$x+1>0$$,$$x+3$$x+3>0$$,$$x+3>0$$,$$x+3>0$$,$$2-x>0$$;$$2-x>0$$;$$2-x>0$$;$$2-xРозв’язуємо рівняння на чотирьох інтервалах, позбавляючись знаків модуля, та перевіряємо відповідність коренів інтервалу:$$x\in (-\infty;-3)$$Розкриваємо знаки модуля:$$-(x+1)-(-(x+3))+(2-x)=4\Longleftrightarrow-x+4=4\Longleftrightarrow x=0$$Але $$x=0\notin(-\infty;-3)$$ — розв’язок лежить не на інтервалі, що розглядаємо, тому $$x\in \emptyset$$ на даному інтервалі.$$x \in[-3;-1)$$Розкриваємо знаки модуля:$$-(x+1)-(x+3)+(2-x)=4\Longleftrightarrow-3x-2=4\Longleftrightarrow x=-2.$$$$x=-2\in[-3;-1)$$, тому є коренем.$$x\in [-1;2]$$Розкриваємо знаки модуля:$$(x+1)-(x+3)+(2-x)=4\Longleftrightarrow-x=4\Longleftrightarrow x=-4.$$Але $$x=-4\notin[-1;2]$$ – розв’язок лежить не на інтервалі, що розглядаємо, тому $$x\in \emptyset$$ на даному інтервалі.$$x\in (2;+\infty)$$Розкриваємо знаки модуля:$$(x+1)-(x+3)-(2-x)=4\Longleftrightarrow x-4=4\Longleftrightarrow x=8.$$$$x=8\in(2;+\infty),$$ тому є коренем.Відповідь. $$\{-2; 8\}$$.
На якому числовому проміжку всі підмодульні вирази рівняння $$|2x+2|+|x−1|−|5+x|−|2−x|=10$$ є невід’ємними? $$(-\infty;-5)$$ $$(1;2]$$ $$(-1;1]$$ $$(2;\infty)$$
Last modified 4yr ago