Логарифмування та потенцiювання
Визначення Логарифмування — це операція знаходження логарифмів заданих чисел чи виразів.
Приклад
Знайти логарифм $x=25a\dfrac{b^2}{c}$ за основою $a$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Логарифмуємо обидві частини рівності та користуємось основними тотожностями:$\log_{a}x=\log_{a}25a\dfrac{b^2}{c}=\log_{a}25 + \log_{a}a + \log_{a}{b^2} - \log_{a}c=2\log_{a}5+2\log_{a}b-\log_{a}c + 1.$Вiдповiдь. $\log_{a}x=2\log_{a}5+2\log_{a}b-\log_{a}c + 1.$
Визначення Потенціювання — це операція знаходження чисел чи виразів за заданим логарифмом числа (виразу).
Якщо по обидві сторони рівності стоять логарифми без коефіцієнтів з однаковими основами, то при потенціюванні значки логарифмів прибирають:
$\log_{a}{b(x)}=\log_{a}{c(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} b(x)=c(x);\\ b(x)>0. \end{cases}$
Якщо ж основи різні чи є коефіцієнти, то значки логарифмів прибирати не можна. Треба скористатись основними тотожностями для перетворення виразу.
Приклад
Пропотенціювати вираз $2\log_{2}x=\ln24-3\ln a+6\ln b$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Зводимо праву частину, щоб уся була під знаком логарифма:$2\log_{2}x=\ln24-3\ln a+6\ln b \Rightarrow \log_{2}x=\dfrac{1}{2}\ln24-\dfrac{3}{2}\ln a+\dfrac{6}{2}\ln b;$$\log_{2}x=\ln{\sqrt{24}}-\ln{a^{\frac{3}{2}}}+\ln{b^3} \Rightarrow \log_{2}x=\ln{b^3}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}.$Переходимо до однієї основи:$\log_{2}x=\ln {b^3}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}} \Leftrightarrow \log_{2}x=\dfrac{\log_{2}{b^3}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}}{\log_{2}e} \Leftrightarrow x=\dfrac{b^3}{\log_{2}e}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}.$Вiдповiдь. $x=\dfrac{b^3}{\log_{2}e}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}.$
Знайти логарифм виразу $3a^2\dfrac{c^3}{b^4}$ за основою $b$ $log_{b}3+log_{b}a+log_{b}c-4$ $-4$ $log_{b}3+2log_{b}a+3log_{b}c-4$ $log_{b}c-4$ $2log_{b}a+3log_{b}c$
$3a^2\dfrac{c^3}{b^4} = log_{b}3 + log_{b}a^2 + log_{b}c^3 - log_{b}b^4 = log_{b}3 + 2log_{b}a + 3log_{b}c -4log_{b}b =$
$= log_{b}3+2log_{b}a+3log_{b}c-4$.
Пропотенціюйте вираз $2log_{2}x = ln a^{\frac{4}{3}}$ $x=a^{\frac{2}{3}}$ $x=a^{\frac{3}{2}}\dfrac{1}{log_{2}e}$ $x=a^{\frac{2}{3}}\dfrac{1}{log_{2}e}$ $log_{2} x=\dfrac{1}{2}ln a^{\frac{4}{3}}$ $log_{2} x=lna^{\frac{2}{3}}$ $log_{2} x = \dfrac{log_{2}a^{\frac{2}{3}}}{log_{2}e}$ $x=a^{\frac{2}{3}}\dfrac{1}{log_{2}e}$
Last modified 2yr ago
Copy link