# Логарифмування та потенцiювання

 Визначення **Логарифмування** — це операція знаходження логарифмів заданих чисел чи виразів.

 Приклад

Знайти логарифм $$x=25a\dfrac{b^2}{c}$$ за основою $$a$$.

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Логарифмуємо обидві частини рівності та користуємось основними тотожностями:$$\log\_{a}x=\log\_{a}25a\dfrac{b^2}{c}=\log\_{a}25 + \log\_{a}a + \log\_{a}{b^2} - \log\_{a}c=2\log\_{a}5+2\log\_{a}b-\log\_{a}c + 1.$$**Вiдповiдь.** $$\log\_{a}x=2\log\_{a}5+2\log\_{a}b-\log\_{a}c + 1.$$

 Визначення **Потенціювання** — це операція знаходження чисел чи виразів за заданим логарифмом числа (виразу).

Якщо по обидві сторони рівності стоять логарифми без коефіцієнтів з однаковими основами, то при потенціюванні значки логарифмів прибирають:

$$\log\_{a}{b(x)}=\log\_{a}{c(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} b(x)=c(x);\\\ b(x)>0. \end{cases}$$

Якщо ж основи різні чи є коефіцієнти, то значки логарифмів прибирати не можна. Треба скористатись основними тотожностями для перетворення виразу.

 Приклад

Пропотенціювати вираз $$2\log\_{2}x=\ln24-3\ln a+6\ln b$$.

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Зводимо праву частину, щоб уся була під знаком логарифма:$$2\log\_{2}x=\ln24-3\ln a+6\ln b \Rightarrow \log\_{2}x=\dfrac{1}{2}\ln24-\dfrac{3}{2}\ln a+\dfrac{6}{2}\ln b;$$$$\log\_{2}x=\ln{\sqrt{24}}-\ln{a^{\frac{3}{2}}}+\ln{b^3} \Rightarrow \log\_{2}x=\ln{b^3}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}.$$Переходимо до однієї основи:$$\log\_{2}x=\ln {b^3}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}} \Leftrightarrow \log\_{2}x=\dfrac{\log\_{2}{b^3}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}}{\log\_{2}e} \Leftrightarrow x=\dfrac{b^3}{\log\_{2}e}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}.$$**Вiдповiдь.** $$x=\dfrac{b^3}{\log\_{2}e}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}.$$

Знайти логарифм виразу $$3a^2\dfrac{c^3}{b^4}$$ за основою $$b$$ $$log\_{b}3+log\_{b}a+log\_{b}c-4$$ $$-4$$ $$log\_{b}3+2log\_{b}a+3log\_{b}c-4$$ $$log\_{b}c-4$$ $$2log\_{b}a+3log\_{b}c$$

$$3a^2\dfrac{c^3}{b^4} = log\_{b}3 + log\_{b}a^2 + log\_{b}c^3 - log\_{b}b^4 = log\_{b}3 + 2log\_{b}a + 3log\_{b}c -4log\_{b}b =$$

$$= log\_{b}3+2log\_{b}a+3log\_{b}c-4$$.

Пропотенціюйте вираз $$2log\_{2}x = ln a^{\frac{4}{3}}$$ $$x=a^{\frac{2}{3}}$$ $$x=a^{\frac{3}{2}}\dfrac{1}{log\_{2}e}$$ $$x=a^{\frac{2}{3}}\dfrac{1}{log\_{2}e}$$ $$log\_{2} x=\dfrac{1}{2}ln a^{\frac{4}{3}}$$\
 $$log\_{2} x=lna^{\frac{2}{3}}$$\
 $$log\_{2} x = \dfrac{log\_{2}a^{\frac{2}{3}}}{log\_{2}e}$$\
 $$x=a^{\frac{2}{3}}\dfrac{1}{log\_{2}e}$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/pokaznikovi_totozhnosti/metodi_rozvyazannya_zadach_logarifmuvannya-_potentsiyuvannya.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.