Математика: арифметика, рівняння та нерівності
  • Зміст
  • Вступне слово
  • Арифметика
    • Прості та складені числа
    • Ознаки подiльностi натуральних чисел
    • Дроби та дiї над ними
    • Модуль числа
  • Пропорції та відсотки
    • Відсотки
    • Розв’язання задач на спiльну виконану роботу (задачi на продуктивнiсть)
  • Одночлени та многочлени
    • Одночлен
    • Многочлен
    • Дiї над многочленами
    • Формули скороченого множення
    • Розкладання многочлена на множники
    • Бiном Ньютона
  • Корiнь та його властивостi
    • Квадратний корiнь та його основнi властивостi
    • Корінь n-го степеня та його основні властивості
    • Ірраціональні вирази
      • Доповнюючий множник
      • Звiльнення вiд iррацiональностi у знаменнику (чисельнику) iррацiонального дробу
      • Доповнюючi множники для основних типiв iррацiональностей у знаменнику (чисельнику)
    • Додаток
  • Показниковi та логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифм
    • Логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифмування та потенцiювання
  • Системи алгебраїчних рiвнянь
    • Метод підстановки
    • Метод алгебраїчного додавання
    • Метод заміни змінної
  • Лiнiйнi та квадратнi рiвняння
    • Лiнiйнi рiвняння
    • Квадратнi рiвняння
      • Неповні квадратні рівняння
      • Повне квадратне рівняння та дискримiнант
      • Факторизація квадратного рівняння (розкладання на множники)
      • Теорема Вiєта
    • Бiквадратнi рiвняння, та рівняння, що зводяться до квадратних
  • Iншi види цiлих рiвнянь
    • Цiлi рацiональнi рiвняння вищих степенів
      • Метод підбору коренів
      • Метод заміни змінної
    • Рiвняння з модулями
      • Метод інтервалів
    • Рівняння з параметрами
      • Лінійне рiвняння з параметрами
      • Квадратне рівняння з параметрами
  • Цілі нерівності
    • Основні властивості
    • Лiнiйнi нерiвностi
    • Система та сукупність нерівностей
    • Нерiвностi з модулями
  • Метод інтервалів
    • Метод інтервалів
    • Дробово-рацiональнi нерiвності
    • Нерiвностi з параметрами
  • Дробово-раціональні рівняння
    • Дробово-раціональне рівняння
    • Раціональні рівняння з параметрами
  • Ірраціональні рівняння
    • Корабель на горизонтi
    • Iррацiональнi рiвняння з квадратним коренем
    • Корабль поза горизонтом
  • Ірраціональні нерівності
    • Метод відокремлення кореня
    • Методологiя розв’язання в залежностi вiд парності/непарностi степеня кореня
    • Метод iнтервалiв для iррацiональних нерiвностей
    • Нерiвностi з параметрами
  • Показникові рівняння
    • Вік Землі та скам’янілостей
    • Показникові рівняння
    • Показникові нерівності
    • Степенево-показникові рівняння
    • Зведення до однiєї основи
      • Показникові рівняння
    • Винесення множника
    • Рiвняння особливих видiв
    • Використання властивостей функцiй (монотонностi)
    • Показниково - степеневi рiвняння
    • Рiвняння з параметрами
    • Системи рівнянь
  • Показникові нерівності
    • Властивостi показникової функцiї та класифікація типiв задач
    • Методи розв’язання окремих типiв задач
    • Степенево - показниковi нерiвностi
  • Логарифмічні рівняння
    • Логарифмiчнi рiвняння
    • Логарифмування та потенцiювання
    • Використання логарифмiчних тотожностей для розв’язання окремих типiв задач
    • Системи рівнянь
  • Логарифмічні нерівності
    • Використання властивостей логарифмiв для розв’язання рiзних типiв задач
    • Замiна змiнної в логарифмiчних нерiвностях
    • Показниково-логарифмiчнi нерiвностi
    • Нерiвностi з параметрами
Powered by GitBook
On this page

Was this helpful?

  1. Показниковi та логарифмiчнi тотожностi

Логарифмування та потенцiювання

Визначення Логарифмування — це операція знаходження логарифмів заданих чисел чи виразів.

Приклад

Знайти логарифм $$x=25a\dfrac{b^2}{c}$$ за основою $$a$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Логарифмуємо обидві частини рівності та користуємось основними тотожностями:$$\log_{a}x=\log_{a}25a\dfrac{b^2}{c}=\log_{a}25 + \log_{a}a + \log_{a}{b^2} - \log_{a}c=2\log_{a}5+2\log_{a}b-\log_{a}c + 1.$$Вiдповiдь. $$\log_{a}x=2\log_{a}5+2\log_{a}b-\log_{a}c + 1.$$

Визначення Потенціювання — це операція знаходження чисел чи виразів за заданим логарифмом числа (виразу).

Якщо по обидві сторони рівності стоять логарифми без коефіцієнтів з однаковими основами, то при потенціюванні значки логарифмів прибирають:

$$\log_{a}{b(x)}=\log_{a}{c(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} b(x)=c(x);\\ b(x)>0. \end{cases}$$

Якщо ж основи різні чи є коефіцієнти, то значки логарифмів прибирати не можна. Треба скористатись основними тотожностями для перетворення виразу.

Приклад

Пропотенціювати вираз $$2\log_{2}x=\ln24-3\ln a+6\ln b$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Зводимо праву частину, щоб уся була під знаком логарифма:$$2\log_{2}x=\ln24-3\ln a+6\ln b \Rightarrow \log_{2}x=\dfrac{1}{2}\ln24-\dfrac{3}{2}\ln a+\dfrac{6}{2}\ln b;$$$$\log_{2}x=\ln{\sqrt{24}}-\ln{a^{\frac{3}{2}}}+\ln{b^3} \Rightarrow \log_{2}x=\ln{b^3}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}.$$Переходимо до однієї основи:$$\log_{2}x=\ln {b^3}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}} \Leftrightarrow \log_{2}x=\dfrac{\log_{2}{b^3}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}}{\log_{2}e} \Leftrightarrow x=\dfrac{b^3}{\log_{2}e}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}.$$Вiдповiдь. $$x=\dfrac{b^3}{\log_{2}e}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}.$$

Знайти логарифм виразу $$3a^2\dfrac{c^3}{b^4}$$ за основою $$b$$ $$log_{b}3+log_{b}a+log_{b}c-4$$ $$-4$$ $$log_{b}3+2log_{b}a+3log_{b}c-4$$ $$log_{b}c-4$$ $$2log_{b}a+3log_{b}c$$

$$3a^2\dfrac{c^3}{b^4} = log_{b}3 + log_{b}a^2 + log_{b}c^3 - log_{b}b^4 = log_{b}3 + 2log_{b}a + 3log_{b}c -4log_{b}b =$$

$$= log_{b}3+2log_{b}a+3log_{b}c-4$$.

Пропотенціюйте вираз $$2log_{2}x = ln a^{\frac{4}{3}}$$ $$x=a^{\frac{2}{3}}$$ $$x=a^{\frac{3}{2}}\dfrac{1}{log_{2}e}$$ $$x=a^{\frac{2}{3}}\dfrac{1}{log_{2}e}$$ $$log_{2} x=\dfrac{1}{2}ln a^{\frac{4}{3}}$$ $$log_{2} x=lna^{\frac{2}{3}}$$ $$log_{2} x = \dfrac{log_{2}a^{\frac{2}{3}}}{log_{2}e}$$ $$x=a^{\frac{2}{3}}\dfrac{1}{log_{2}e}$$

PreviousЛогарифмiчнi тотожностiNextСистеми алгебраїчних рiвнянь

Last updated 6 years ago

Was this helpful?