> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://math.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://math.ed-era.com/pokaznikovi_totozhnosti/metodi_rozvyazannya_zadach_logarifmuvannya-_potentsiyuvannya.md).

# Логарифмування та потенцiювання

 Визначення **Логарифмування** — це операція знаходження логарифмів заданих чисел чи виразів.

 Приклад

Знайти логарифм $$x=25a\dfrac{b^2}{c}$$ за основою $$a$$.

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Логарифмуємо обидві частини рівності та користуємось основними тотожностями:$$\log\_{a}x=\log\_{a}25a\dfrac{b^2}{c}=\log\_{a}25 + \log\_{a}a + \log\_{a}{b^2} - \log\_{a}c=2\log\_{a}5+2\log\_{a}b-\log\_{a}c + 1.$$**Вiдповiдь.** $$\log\_{a}x=2\log\_{a}5+2\log\_{a}b-\log\_{a}c + 1.$$

 Визначення **Потенціювання** — це операція знаходження чисел чи виразів за заданим логарифмом числа (виразу).

Якщо по обидві сторони рівності стоять логарифми без коефіцієнтів з однаковими основами, то при потенціюванні значки логарифмів прибирають:

$$\log\_{a}{b(x)}=\log\_{a}{c(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} b(x)=c(x);\\\ b(x)>0. \end{cases}$$

Якщо ж основи різні чи є коефіцієнти, то значки логарифмів прибирати не можна. Треба скористатись основними тотожностями для перетворення виразу.

 Приклад

Пропотенціювати вираз $$2\log\_{2}x=\ln24-3\ln a+6\ln b$$.

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Зводимо праву частину, щоб уся була під знаком логарифма:$$2\log\_{2}x=\ln24-3\ln a+6\ln b \Rightarrow \log\_{2}x=\dfrac{1}{2}\ln24-\dfrac{3}{2}\ln a+\dfrac{6}{2}\ln b;$$$$\log\_{2}x=\ln{\sqrt{24}}-\ln{a^{\frac{3}{2}}}+\ln{b^3} \Rightarrow \log\_{2}x=\ln{b^3}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}.$$Переходимо до однієї основи:$$\log\_{2}x=\ln {b^3}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}} \Leftrightarrow \log\_{2}x=\dfrac{\log\_{2}{b^3}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}}{\log\_{2}e} \Leftrightarrow x=\dfrac{b^3}{\log\_{2}e}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}.$$**Вiдповiдь.** $$x=\dfrac{b^3}{\log\_{2}e}\sqrt{\dfrac{24}{a^3}}.$$

Знайти логарифм виразу $$3a^2\dfrac{c^3}{b^4}$$ за основою $$b$$ $$log\_{b}3+log\_{b}a+log\_{b}c-4$$ $$-4$$ $$log\_{b}3+2log\_{b}a+3log\_{b}c-4$$ $$log\_{b}c-4$$ $$2log\_{b}a+3log\_{b}c$$

$$3a^2\dfrac{c^3}{b^4} = log\_{b}3 + log\_{b}a^2 + log\_{b}c^3 - log\_{b}b^4 = log\_{b}3 + 2log\_{b}a + 3log\_{b}c -4log\_{b}b =$$

$$= log\_{b}3+2log\_{b}a+3log\_{b}c-4$$.

Пропотенціюйте вираз $$2log\_{2}x = ln a^{\frac{4}{3}}$$ $$x=a^{\frac{2}{3}}$$ $$x=a^{\frac{3}{2}}\dfrac{1}{log\_{2}e}$$ $$x=a^{\frac{2}{3}}\dfrac{1}{log\_{2}e}$$ $$log\_{2} x=\dfrac{1}{2}ln a^{\frac{4}{3}}$$\
 $$log\_{2} x=lna^{\frac{2}{3}}$$\
 $$log\_{2} x = \dfrac{log\_{2}a^{\frac{2}{3}}}{log\_{2}e}$$\
 $$x=a^{\frac{2}{3}}\dfrac{1}{log\_{2}e}$$