> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://math.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://math.ed-era.com/pokaznikovi_totozhnosti/logarifm.md).

# Логарифм

 Визначення **Логарифмом числа $$b$$ за основою $$a$$ ($$a>0, a\neq1, b>0$$)** називається показник степеня, до якого треба піднести число $$a$$, щоб отримати число $$b$$: $$a^x=b$$.

Логарифм числа $$b$$ за основою $$a$$ **позначається** $$\log\_{a}b$$.

Наприклад: $$\log\_{6}36=2,$$ бо $$6^2=36$$.

**Логарифм з основою $$1$$ не визначений: $$a\neq1$$**.

З визначення логарифма випливає **основна логарифмічна тотожність**:

$$a^{\log\_{a}b}=b \Leftrightarrow \log\_{a}{a^b}=b.$$

Логарифм за основою $$10$$ має спеціальний запис $$\log\_{10}b=\lg{b}$$ і називається **десятковим логарифмом**.

Для десяткових логарифмів справедливі рівності: $$10^{\lg{x}}=x; \lg{10^x}=x.$$

Наприклад: $$\lg1000=3,$$ бо $$10^3=1000.$$

Логарифм за основою $$e$$ має в математиці велике значення. Число $$e=2,7182818284\dots$$ Саме число $$e$$ є ірраціональним. Для логарифма за цією основою теж є спеціальний запис $$\log\_{e}x=\ln{x}$$ і називається **натуральний логарифм**.

Наприклад: $$\ln403,429\approx5,$$ бо $$e^5\approx2,71828^5\approx403,429.$$.

**ОДЗ для логарифмічного виразу** $$\log\_{a}b: \begin{cases} a>0;\\\ a\neq1;\\\ b>0. \end{cases}$$

Чому дорівнює $$\log\_1{10}$$? $$10^1$$ $$1^{10}$$ такий вираз невизначений $$\sqrt{10}$$ $$1$$

Чому дорівнює $$\log\_3{9}$$? $$-2$$ $$3$$ $$2$$ $$-3$$ такий вираз невизначений