Логарифм

Визначення Логарифмом числа $$b$$ за основою $$a$$ ($$a>0, a\neq1, b>0$$) називається показник степеня, до якого треба піднести число $$a$$, щоб отримати число $$b$$: $$a^x=b$$.

Логарифм числа $$b$$ за основою $$a$$ позначається $$\log_{a}b$$.

Наприклад: $$\log_{6}36=2,$$ бо $$6^2=36$$.

Логарифм з основою $$1$$ не визначений: $$a\neq1$$.

З визначення логарифма випливає основна логарифмічна тотожність:

$$a^{\log_{a}b}=b \Leftrightarrow \log_{a}{a^b}=b.$$

Логарифм за основою $$10$$ має спеціальний запис $$\log_{10}b=\lg{b}$$ і називається десятковим логарифмом.

Для десяткових логарифмів справедливі рівності: $$10^{\lg{x}}=x; \lg{10^x}=x.$$

Наприклад: $$\lg1000=3,$$ бо $$10^3=1000.$$

Логарифм за основою $$e$$ має в математиці велике значення. Число $$e=2,7182818284\dots$$ Саме число $$e$$ є ірраціональним. Для логарифма за цією основою теж є спеціальний запис $$\log_{e}x=\ln{x}$$ і називається натуральний логарифм.

Наприклад: $$\ln403,429\approx5,$$ бо $$e^5\approx2,71828^5\approx403,429.$$.

ОДЗ для логарифмічного виразу $$\log_{a}b: \begin{cases} a>0;\\ a\neq1;\\ b>0. \end{cases}$$

Чому дорівнює $$\log_1{10}$$? $$10^1$$ $$1^{10}$$ такий вираз невизначений $$\sqrt{10}$$ $$1$$

Чому дорівнює $$\log_3{9}$$? $$-2$$ $$3$$ $$2$$ $$-3$$ такий вираз невизначений