# Логарифм

 Визначення **Логарифмом числа $$b$$ за основою $$a$$ ($$a>0, a\neq1, b>0$$)** називається показник степеня, до якого треба піднести число $$a$$, щоб отримати число $$b$$: $$a^x=b$$.

Логарифм числа $$b$$ за основою $$a$$ **позначається** $$\log\_{a}b$$.

Наприклад: $$\log\_{6}36=2,$$ бо $$6^2=36$$.

**Логарифм з основою $$1$$ не визначений: $$a\neq1$$**.

З визначення логарифма випливає **основна логарифмічна тотожність**:

$$a^{\log\_{a}b}=b \Leftrightarrow \log\_{a}{a^b}=b.$$

Логарифм за основою $$10$$ має спеціальний запис $$\log\_{10}b=\lg{b}$$ і називається **десятковим логарифмом**.

Для десяткових логарифмів справедливі рівності: $$10^{\lg{x}}=x; \lg{10^x}=x.$$

Наприклад: $$\lg1000=3,$$ бо $$10^3=1000.$$

Логарифм за основою $$e$$ має в математиці велике значення. Число $$e=2,7182818284\dots$$ Саме число $$e$$ є ірраціональним. Для логарифма за цією основою теж є спеціальний запис $$\log\_{e}x=\ln{x}$$ і називається **натуральний логарифм**.

Наприклад: $$\ln403,429\approx5,$$ бо $$e^5\approx2,71828^5\approx403,429.$$.

**ОДЗ для логарифмічного виразу** $$\log\_{a}b: \begin{cases} a>0;\\\ a\neq1;\\\ b>0. \end{cases}$$

Чому дорівнює $$\log\_1{10}$$? $$10^1$$ $$1^{10}$$ такий вираз невизначений $$\sqrt{10}$$ $$1$$

Чому дорівнює $$\log\_3{9}$$? $$-2$$ $$3$$ $$2$$ $$-3$$ такий вираз невизначений


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/pokaznikovi_totozhnosti/logarifm.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.