> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://math.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://math.ed-era.com/teorema_bezu/prost_rvnyannya_z_modulyami.md).

# Рiвняння з модулями

## Рiвняння з модулями

## Прості рівняння з модулями

Під час розв’язання рівнянь, що містять знаки модуля, потрібно пам’ятати означення модуля (див. пункт 1.5 [Модуль числа](http://math.ed-era.com/1/modul_chisla.html))

Розглянемо загальний вигляд простого рівняння зі знаком модуля $$|f(x)|=g(x)$$. За означенням, якщо $$g(x)

Саме тому можна користуватися рівносильним переходом:

$$|f(x)|=g(x) \Longleftrightarrow \begin{cases} \left\[ \begin{gathered} f(x)=g(x), \hfill \\\ f(x)=-g(x), \hfill \end{gathered} \right.\\\ g(x)\geq0. \end{cases}$$

Таким чином, потрібно розв’язати два рівняння $$f(x)=g(x)$$ та $$f(x)=-g(x)$$, після чого залишити лише ті корені, які задовольняють умову $$g(x)\geq0$$.

 Приклад

Розв’язати рівняння $$|3x-5|=8x-1$$.

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Скористаємось ланцюжком рівносильних переходів:$$|3x-5|=8x-1 \Longleftrightarrow \begin{cases} \left\[ \begin{gathered} 3x-5=8x-1, \hfill \\\ 3x-5=-(8x-1), \hfill \end{gathered} \right.\\\ 8x-1\geq0; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} \left\[ \begin{gathered} -5x=4, \hfill \\\ 11x=6, \hfill \end{gathered} \right.\\\ x\geq\dfrac{1}{8}; \end{cases} \Longleftrightarrow$$$$\Longleftrightarrow \begin{cases} \left\[ \begin{gathered} x=-\dfrac{4}{5}, \hfill \\\ x=\dfrac{6}{11}, \hfill \end{gathered} \right.\\\ x\geq\dfrac{1}{8}; \end{cases} \Longleftrightarrow x=\dfrac{6}{11}.$$Було розв’язано два рівняння та знайдено їхні корені $$x\_1=-\dfrac{4}{5};x\_2=\dfrac{6}{11}$$. Після цього був відібраний лише один корінь $$x=\dfrac{6}{11}$$, щоб задовольнити означення модуля.**Відповідь.** $$\dfrac{6}{11}$$.

Яке з чисел є коренем рівняння $$|x-3|=4x+6$$? $$x=0$$ $$x=\dfrac{2}{3}$$ $$x=-1$$ $$x=-\dfrac{3}{5}$$