# Рiвняння з модулями

## Рiвняння з модулями

## Прості рівняння з модулями

Під час розв’язання рівнянь, що містять знаки модуля, потрібно пам’ятати означення модуля (див. пункт 1.5 [Модуль числа](http://math.ed-era.com/1/modul_chisla.html))

Розглянемо загальний вигляд простого рівняння зі знаком модуля $$|f(x)|=g(x)$$. За означенням, якщо $$g(x)

Саме тому можна користуватися рівносильним переходом:

$$|f(x)|=g(x) \Longleftrightarrow \begin{cases} \left\[ \begin{gathered} f(x)=g(x), \hfill \\\ f(x)=-g(x), \hfill \end{gathered} \right.\\\ g(x)\geq0. \end{cases}$$

Таким чином, потрібно розв’язати два рівняння $$f(x)=g(x)$$ та $$f(x)=-g(x)$$, після чого залишити лише ті корені, які задовольняють умову $$g(x)\geq0$$.

 Приклад

Розв’язати рівняння $$|3x-5|=8x-1$$.

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Скористаємось ланцюжком рівносильних переходів:$$|3x-5|=8x-1 \Longleftrightarrow \begin{cases} \left\[ \begin{gathered} 3x-5=8x-1, \hfill \\\ 3x-5=-(8x-1), \hfill \end{gathered} \right.\\\ 8x-1\geq0; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} \left\[ \begin{gathered} -5x=4, \hfill \\\ 11x=6, \hfill \end{gathered} \right.\\\ x\geq\dfrac{1}{8}; \end{cases} \Longleftrightarrow$$$$\Longleftrightarrow \begin{cases} \left\[ \begin{gathered} x=-\dfrac{4}{5}, \hfill \\\ x=\dfrac{6}{11}, \hfill \end{gathered} \right.\\\ x\geq\dfrac{1}{8}; \end{cases} \Longleftrightarrow x=\dfrac{6}{11}.$$Було розв’язано два рівняння та знайдено їхні корені $$x\_1=-\dfrac{4}{5};x\_2=\dfrac{6}{11}$$. Після цього був відібраний лише один корінь $$x=\dfrac{6}{11}$$, щоб задовольнити означення модуля.**Відповідь.** $$\dfrac{6}{11}$$.

Яке з чисел є коренем рівняння $$|x-3|=4x+6$$? $$x=0$$ $$x=\dfrac{2}{3}$$ $$x=-1$$ $$x=-\dfrac{3}{5}$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/teorema_bezu/prost_rvnyannya_z_modulyami.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.