Рiвняння з модулями

Рiвняння з модулями

Прості рівняння з модулями

Під час розв’язання рівнянь, що містять знаки модуля, потрібно пам’ятати означення модуля (див. пункт 1.5 Модуль числа)
Розглянемо загальний вигляд простого рівняння зі знаком модуля $|f(x)|=g(x)$. За означенням, якщо $g(x)
Саме тому можна користуватися рівносильним переходом:
$|f(x)|=g(x) \Longleftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{gathered} f(x)=g(x), \hfill \\ f(x)=-g(x), \hfill \end{gathered} \right.\\ g(x)\geq0. \end{cases}$
Таким чином, потрібно розв’язати два рівняння $f(x)=g(x)$ та $f(x)=-g(x)$, після чого залишити лише ті корені, які задовольняють умову $g(x)\geq0$.
Приклад
Розв’язати рівняння $|3x-5|=8x-1$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Скористаємось ланцюжком рівносильних переходів:$|3x-5|=8x-1 \Longleftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{gathered} 3x-5=8x-1, \hfill \\ 3x-5=-(8x-1), \hfill \end{gathered} \right.\\ 8x-1\geq0; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{gathered} -5x=4, \hfill \\ 11x=6, \hfill \end{gathered} \right.\\ x\geq\dfrac{1}{8}; \end{cases} \Longleftrightarrow$$\Longleftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{gathered} x=-\dfrac{4}{5}, \hfill \\ x=\dfrac{6}{11}, \hfill \end{gathered} \right.\\ x\geq\dfrac{1}{8}; \end{cases} \Longleftrightarrow x=\dfrac{6}{11}.$Було розв’язано два рівняння та знайдено їхні корені $x_1=-\dfrac{4}{5};x_2=\dfrac{6}{11}$. Після цього був відібраний лише один корінь $x=\dfrac{6}{11}$, щоб задовольнити означення модуля.Відповідь. $\dfrac{6}{11}$.
Яке з чисел є коренем рівняння $|x-3|=4x+6$? $x=0$ $x=\dfrac{2}{3}$ $x=-1$ $x=-\dfrac{3}{5}$
Last modified 2yr ago