Нерiвностi з модулями

Розглянемо простеньку нерівність:

$$|x|

Розкриємо знак модуля за означенням:

Для додатних значень $$x$$ значок модуля забираємо: $$x

Для від’ємних значень $$x$$ при розкритті модуля потрібно помножити підмодульний вираз на $$-1$$:

$$\begin{eqnarray} -x && -3 \nonumber \end{eqnarray}$$

В результаті маємо дві умови, що повинні виконуватися одночасно:

$$ x-3 \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} x-3. \end{cases}$$

Можна піти простішим шляхом: нерівність $$|x|

Тобто можна переписати таку нерівність у вигляді: $$-3

Тепер розглянемо іншу нерівність:

$$|x|\geq2.$$

Розв’язком такого рівняння будуть ті значення $$x$$, що лежать на відстані $$2$$ і більше від $$0$$:

Аналогічно, таке рівняння можна представити у вигляді сукупності двох рівнянь без значків модуля:

$$x\geq2 \quad або \quad x\leq-2 \quad\Longleftrightarrow\quad \left[\begin{gathered} x\geq2,\\ x\leq-2. \end{gathered}\right.$$

Алгоритм

Всі нерівності з модулями можна звести до таких трьох випадків:

1. $$|f(x)|-g(x). \end{cases}$$

2. $$|f(x)|>g(x) \Longleftrightarrow \begin{cases} f(x)>g(x),\\ f(x)

   $$|f(x)|>|g(x)| \Longleftrightarrow f^2(x) > g^2(x).$$

Для нестрогих нерівностей все працює точно так само.

Приклад

Межі коливання середньої місячної температури повітря за $$2013$$ рік в м. Києві описуються такою нерівністю: $$|T-8,65|\leq 12,95$$. Знайдіть максимальне та мінімальне значення середньої місячної температури у $$2013$$ році.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Позбавляємося значка модуля:$$|T-8,65|\leq 12,95\Longleftrightarrow-12,95\leq T-8,65\leq 12,95$$Розв'язуємо отриману нерівність:$$ \begin{align} -12,95 && \le && T - 8,65 && \le && 12,95 \\ \\ -12,95 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}8\color{#1570bd},\color{#1570bd}6\color{#1570bd}5 && \le && T -8,65 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}8\color{#1570bd},\color{#1570bd}6\color{#1570bd}5 && \le && 12,95 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}8\color{#1570bd},\color{#1570bd}6\color{#1570bd}5 \\ \\ -4,3 && \le && T && \le && 21,6 \end{align}$$Вихідна нерівність Додаємо $$8,65$$ до всіх трьох частин СпрощуємоЗображаємо це на числовій прямій:$$T \in [-4,3;21,6]$$Вiдповiдь. $$T_{min}=-4,3$$; $$T_{max}=21,6.$$

Приклад

Розв’язати нерівність: $$|5-2(x+1)|>x-1$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Позбавляємося значка модуля:$$|5-2(x+1)|>x-1\Longleftrightarrow\left[\begin{gathered} \hspace{-0.65cm}5-2(x+1)>x-1,\\ 5-2(x+1)Розв’язуємо два рівняння сукупності окремо:$$ \begin{align} 5 - 2(x+1) & \gt x-1 \\ 5 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 & \gt x-1 \\ 3 - 2x & \gt x-1 \\ 3 - 2x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}(\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x\color{#1570bd}+\color{#1570bd}1\color{#1570bd}) & \gt x - 1 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}(\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}1\color{#1570bd}) \\ 4 & \gt 3x \\ \dfrac{4}{\color{#1570bd}3} & \gt \dfrac{3}{\color{#1570bd}3}x \\ \dfrac{4}{3} & \gt x \end{align}$$Вихідний вираз Розкриваємо дужки Спрощуємо Додаємо $$2x+1$$ до обох частин Спрощуємо Ділимо обидві частини на $$3$$ Спрощуємо$$ \begin{align} 5 - 2(x+1) & \lt -(x-1) \\ 5 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 & \lt \color{#1570bd}1 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}x \\ 3 - 2x & \lt 1 - x \\ 3 - 2x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}(\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x\color{#1570bd}-\color{#1570bd}1\color{#1570bd}) & \lt 1 - x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}(\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x\color{#1570bd}-\color{#1570bd}1\color{#1570bd}) \\ 2 & \lt x \end{align}$$Вихідний вираз Розкриваємо дужки Спрощуємо Додаємо $$2x-1$$ до обох частин СпрощуємоЗобразимо ці розв’язки на числовій прямій та знайдемо їхнє об’єднання:Вiдповiдь. $$x \in \left(-\infty;\dfrac{4}{3}\right)\cup(2;\infty).$$

Розв'яжіть нерівність: $$|x−5|>4$$ $$(-\infty;1)\cup(9;\infty)$$ $$(-\infty;1)\cap(9;\infty)$$ $$(1;9)$$ $$(-\infty;\infty)$$

Розкриємо модуль з додатним знаком:

$$x-5>4$$

$$x>9$$

Розкриємо модуль з від'ємним знаком:

$$-x+5>4$$

$$xОб'єднання інтервалів і буде розв'яззком: $$(-\infty;1)\cup(9;\infty)$$