Нерiвностi з модулями

Розглянемо простеньку нерівність:
$|x|
Розкриємо знак модуля за означенням:
Для додатних значень $x$ значок модуля забираємо: $x
Для від’ємних значень $x$ при розкритті модуля потрібно помножити підмодульний вираз на $-1$:
$\begin{eqnarray} -x && -3 \nonumber \end{eqnarray}$
В результаті маємо дві умови, що повинні виконуватися одночасно:
$ x-3 \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} x-3. \end{cases}$
Можна піти простішим шляхом: нерівність $|x|
Тобто можна переписати таку нерівність у вигляді: $-3
Тепер розглянемо іншу нерівність:
$|x|\geq2.$
Розв’язком такого рівняння будуть ті значення $x$, що лежать на відстані $2$ і більше від $0$:
Аналогічно, таке рівняння можна представити у вигляді сукупності двох рівнянь без значків модуля:
$x\geq2 \quad або \quad x\leq-2 \quad\Longleftrightarrow\quad \left[\begin{gathered} x\geq2,\\ x\leq-2. \end{gathered}\right.$
 Алгоритм
Всі нерівності з модулями можна звести до таких трьох випадків:
1.$|f(x)|-g(x). \end{cases}$
2.$|f(x)|>g(x) \Longleftrightarrow \begin{cases} f(x)>g(x),\\ f(x)
$|f(x)|>|g(x)| \Longleftrightarrow f^2(x) > g^2(x).$
Для нестрогих нерівностей все працює точно так само.
 Приклад
 Межі коливання середньої місячної температури повітря за $2013$ рік в м. Києві описуються такою нерівністю: $|T-8,65|\leq 12,95$. Знайдіть максимальне та мінімальне значення середньої місячної температури у $2013$ році.
 Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Позбавляємося значка модуля:$|T-8,65|\leq 12,95\Longleftrightarrow-12,95\leq T-8,65\leq 12,95$Розв'язуємо отриману нерівність:$ \begin{align} -12,95 && \le && T - 8,65 && \le && 12,95 \\ \\ -12,95 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}8\color{#1570bd},\color{#1570bd}6\color{#1570bd}5 && \le && T -8,65 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}8\color{#1570bd},\color{#1570bd}6\color{#1570bd}5 && \le && 12,95 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}8\color{#1570bd},\color{#1570bd}6\color{#1570bd}5 \\ \\ -4,3 && \le && T && \le && 21,6 \end{align}$Вихідна нерівність
Додаємо $8,65$ до всіх трьох частин
СпрощуємоЗображаємо це на числовій прямій:$T \in [-4,3;21,6]$
Вiдповiдь. $T_{min}=-4,3$; $T_{max}=21,6.$
 Приклад
Розв’язати нерівність: $|5-2(x+1)|>x-1$.
 Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Позбавляємося значка модуля:$|5-2(x+1)|>x-1\Longleftrightarrow\left[\begin{gathered} \hspace{-0.65cm}5-2(x+1)>x-1,\\ 5-2(x+1)Розв’язуємо два рівняння сукупності окремо:$ \begin{align} 5 - 2(x+1) & \gt x-1 \\ 5 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 & \gt x-1 \\ 3 - 2x & \gt x-1 \\ 3 - 2x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}(\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x\color{#1570bd}+\color{#1570bd}1\color{#1570bd}) & \gt x - 1 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}(\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}1\color{#1570bd}) \\ 4 & \gt 3x \\ \dfrac{4}{\color{#1570bd}3} & \gt \dfrac{3}{\color{#1570bd}3}x \\ \dfrac{4}{3} & \gt x \end{align}$Вихідний вираз
Розкриваємо дужки
Спрощуємо
Додаємо $2x+1$ до обох частин
Спрощуємо
Ділимо обидві частини на $3$
Спрощуємо$ \begin{align} 5 - 2(x+1) & \lt -(x-1) \\ 5 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 & \lt \color{#1570bd}1 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}x \\ 3 - 2x & \lt 1 - x \\ 3 - 2x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}(\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x\color{#1570bd}-\color{#1570bd}1\color{#1570bd}) & \lt 1 - x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}(\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x\color{#1570bd}-\color{#1570bd}1\color{#1570bd}) \\ 2 & \lt x \end{align}$Вихідний вираз
Розкриваємо дужки
Спрощуємо
Додаємо $2x-1$ до обох частин
СпрощуємоЗобразимо ці розв’язки на числовій прямій та знайдемо їхнє об’єднання:
​
​
Вiдповiдь. $x \in \left(-\infty;\dfrac{4}{3}\right)\cup(2;\infty).$
Розв'яжіть нерівність: $|x−5|>4$ $(-\infty;1)\cup(9;\infty)$ $(-\infty;1)\cap(9;\infty)$ $(1;9)$ $(-\infty;\infty)$
Розкриємо модуль з додатним знаком:
$x-5>4$
$x>9$
Розкриємо модуль з від'ємним знаком:
$-x+5>4$
$xОб'єднання інтервалів і буде розв'яззком: $(-\infty;1)\cup(9;\infty)$

Система та сукупність нерівностей

Метод інтервалів

Last modified 3yr ago

Copy link