# Нерiвностi з модулями

Розглянемо простеньку нерівність:

$$|x|

Розкриємо знак модуля за означенням:

Для додатних значень $$x$$ значок модуля забираємо: $$x

Для від’ємних значень $$x$$ при розкритті модуля потрібно помножити підмодульний вираз на $$-1$$:

$$\begin{eqnarray} -x && -3 \nonumber \end{eqnarray}$$

В результаті маємо дві умови, що повинні виконуватися одночасно:

$$ x-3 \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} x-3. \end{cases}$$

Можна піти простішим шляхом: нерівність $$|x|

Тобто можна переписати таку нерівність у вигляді: $$-3

Тепер розглянемо іншу нерівність:

$$|x|\geq2.$$

Розв’язком такого рівняння будуть ті значення $$x$$, що лежать на відстані $$2$$ і більше від $$0$$:

Аналогічно, таке рівняння можна представити у вигляді сукупності двох рівнянь без значків модуля:

$$x\geq2 \quad або \quad x\leq-2 \quad\Longleftrightarrow\quad \left\[\begin{gathered} x\geq2,\\\ x\leq-2. \end{gathered}\right.$$

 Алгоритм

Всі нерівності з модулями можна звести до таких трьох випадків:

1. $$|f(x)|-g(x). \end{cases}$$
2. $$|f(x)|>g(x) \Longleftrightarrow \begin{cases} f(x)>g(x),\\\ f(x)

   $$|f(x)|>|g(x)| \Longleftrightarrow f^2(x) > g^2(x).$$

Для нестрогих нерівностей все працює точно так само.

 Приклад

 **Межі коливання середньої місячної температури повітря за $$2013$$ рік в м. Києві описуються такою нерівністю: $$|T-8,65|\leq 12,95$$. Знайдіть максимальне та мінімальне значення середньої місячної температури у $$2013$$ році.**

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Позбавляємося значка модуля:$$|T-8,65|\leq 12,95\Longleftrightarrow-12,95\leq T-8,65\leq 12,95$$Розв'язуємо отриману нерівність:$$ \begin{align} -12,95 && \le && T - 8,65 && \le && 12,95 \\\ \\\ -12,95 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}8\color{#1570bd},\color{#1570bd}6\color{#1570bd}5 && \le && T -8,65 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}8\color{#1570bd},\color{#1570bd}6\color{#1570bd}5 && \le && 12,95 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}8\color{#1570bd},\color{#1570bd}6\color{#1570bd}5 \\\ \\\ -4,3 && \le && T && \le && 21,6 \end{align}$$Вихідна нерівність\
Додаємо $$8,65$$ до всіх трьох частин\
СпрощуємоЗображаємо це на числовій прямій:$$T \in \[-4,3;21,6]$$![](/files/-LWNRR-GGEPW7ZEfiEzx)**Вiдповiдь.** $$T\_{min}=-4,3$$; $$T\_{max}=21,6.$$

 Приклад

**Розв’язати нерівність: $$|5-2(x+1)|>x-1$$.**

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Позбавляємося значка модуля:$$|5-2(x+1)|>x-1\Longleftrightarrow\left\[\begin{gathered} \hspace{-0.65cm}5-2(x+1)>x-1,\\\ 5-2(x+1)Розв’язуємо два рівняння сукупності окремо:$$ \begin{align} 5 - 2(x+1) & \gt x-1 \\\ 5 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 & \gt x-1 \\\ 3 - 2x & \gt x-1 \\\ 3 - 2x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}(\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x\color{#1570bd}+\color{#1570bd}1\color{#1570bd}) & \gt x - 1 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}(\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}1\color{#1570bd}) \\\ 4 & \gt 3x \\\ \dfrac{4}{\color{#1570bd}3} & \gt \dfrac{3}{\color{#1570bd}3}x \\\ \dfrac{4}{3} & \gt x \end{align}$$Вихідний вираз\
Розкриваємо дужки\
Спрощуємо\
Додаємо $$2x+1$$ до обох частин\
Спрощуємо\
Ділимо обидві частини на $$3$$\
Спрощуємо$$ \begin{align} 5 - 2(x+1) & \lt -(x-1) \\\ 5 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2\color{#1570bd}x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 & \lt \color{#1570bd}1 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}x \\\ 3 - 2x & \lt 1 - x \\\ 3 - 2x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}(\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x\color{#1570bd}-\color{#1570bd}1\color{#1570bd}) & \lt 1 - x \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}(\color{#1570bd}2\color{#1570bd}x\color{#1570bd}-\color{#1570bd}1\color{#1570bd}) \\\ 2 & \lt x \end{align}$$Вихідний вираз\
Розкриваємо дужки\
Спрощуємо\
Додаємо $$2x-1$$ до обох частин\
СпрощуємоЗобразимо ці розв’язки на числовій прямій та знайдемо їхнє об’єднання:![](/files/-LWNRR-IvqYPUWLFubKJ)![](/files/-LWNRR-KwWP52nazC2Ya)![](/files/-LWNRR-M4f13YKtfBYrk)**Вiдповiдь.** $$x \in \left(-\infty;\dfrac{4}{3}\right)\cup(2;\infty).$$

Розв'яжіть нерівність: $$|x−5|>4$$ $$(-\infty;1)\cup(9;\infty)$$ $$(-\infty;1)\cap(9;\infty)$$ $$(1;9)$$ $$(-\infty;\infty)$$

Розкриємо модуль з додатним знаком:

$$x-5>4$$

$$x>9$$

Розкриємо модуль з від'ємним знаком:

$$-x+5>4$$

$$xОб'єднання інтервалів і буде розв'яззком: $$(-\infty;1)\cup(9;\infty)$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/zagaln_vdomost_pro_nervnost/nerivnosti_z_modulyami.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.