# Квадратне рівняння з параметрами

Пригадаємо з попередньої лекції, що у квадратному рівнянні $$ax^2+bx+c=0$$ дискримінант визначено як:

$$D=b^2-4ac.$$

* при $$D>0$$ рівняння має два дійсних корені: $$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$;
* при $$D=0$$ рівняння має один дійсний корінь (два однакових): $$x=-\dfrac{b}{2a}$$;
* при $$D

У квадратних рівняннях з параметрами «**контрольними**» є значення параметра, яке дає **нульовий старший коефіцієнт** (при $$x^2$$), та **нульовий дискримінант** (від нього залежить кількість коренів).

 Приклад

Знайти значення параметра $$a$$, за яких рівняння $$(1-a)x^2+2ax+3-a=0$$ має тільки один корінь.

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв'язок.**Знайдемо «контрольні» значення параметра $$a$$, за яких коефіцієнт при $$x^2$$ стане рівним нулеві:$$1-a=0\Longleftrightarrow a=1.$$Розв’яжемо рівняння при $$a=1$$. Рівняння стане лінійним і матиме один корінь:$$0x^2+2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x+3-\dfrac{1}{2}=0\Longleftrightarrow x=-\dfrac{5}{2}.$$Якщо $$a\neq\dfrac{1}{2}$$, то рівняння є квадратним. Шукаємо дискримінант:$$D=(2a)^2-4\cdot(1-a)\cdot(3-a)= 4a^2-(3-3a-a+a^2)=4(4a-3).$$Дискримінант рівний нулеві за іншого «контрольного» значення параметра $$a=\dfrac{3}{4}$$.Саме коли $$D=0$$ рівняння теж має один корінь.**Відповідь.** $$a=\dfrac{3}{4}$$ або $$a=1$$.

 Приклад

Розв’язати рівняння $$(1-a^2)x^2-2(a+1)x=1$$.

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв'язок.**Знайдемо «контрольні» значення параметра $$a$$, за яких коефіцієнт при $$x^2$$ стане рівним нулеві:$$1-a^2=0\Longleftrightarrow a=\pm1.$$Розв’яжемо рівняння при $$a=-1$$:$$0x^2-2(-1+1)\cdot x=1\Longleftrightarrow0x=1\Longleftrightarrow x\in\emptyset.$$Розв’яжемо рівняння при $$a=1$$:$$0x^2-2(1+1)\cdot x=1\Longleftrightarrow x=-\dfrac{1}{4}$$.Тепер розглянемо випадок $$a\neq1$$ — рівняння є квадратним.Шукаємо дискримінант:$$D=(-2(a+1))^2-4(1-a^2)\cdot(-1)=4(a^2+2a+1)+4(1-a^2)=$$$$=4(a^2+2a+1+1-a^2)=4(2a+2)=8(a+1).$$Знаходимо «контрольну» точку з умови $$D=0$$:$$8(a+1)=0\Longleftrightarrow a=-1.$$Але вже накладена умова $$a\neq\pm1$$, тому $$D\neq0$$.Дискримінант може бути лише більшим або меншим від нуля (пам’ятаємо при цьому, що $$a\neq1$$):$$a>-1\Longrightarrow D>0$$, і рівняння має два дійсних корені:$$x\_{1,2} = \dfrac{2(a+1)\pm\sqrt{8(a+1)}}{2(1-a^2)}=\dfrac{a+1\pm\sqrt{2(a+1)}}{1-a^2};$$$$aУ відповіді об’єднаємо це з випадком $$a=-1$$, де теж $$x\in\emptyset.$$**Відповідь.** при $$a\in(-\infty;-1]$$: $$x\in\emptyset;$$при $$a\in\\{1\\}$$: $$x=\dfrac{1}{4};$$при $$a\in(-1;1)\cup(1;+\infty)$$: $$x\_{1,2}=\dfrac{a+1\pm\sqrt{2(a+1)}}{1-a^2}.$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/teorema_bezu/rvnyannya_z_parametrami/kvadratne_rvnyannya_z_parametrami.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.