Квадратне рівняння з параметрами
Пригадаємо з попередньої лекції, що у квадратному рівнянні $ax^2+bx+c=0$ дискримінант визначено як:
$D=b^2-4ac.$
  • при $D>0$ рівняння має два дійсних корені: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$;
  • при $D=0$ рівняння має один дійсний корінь (два однакових): $x=-\dfrac{b}{2a}$;
  • при $D
У квадратних рівняннях з параметрами «контрольними» є значення параметра, яке дає нульовий старший коефіцієнт (при $x^2$), та нульовий дискримінант (від нього залежить кількість коренів).
Приклад
Знайти значення параметра $a$, за яких рівняння $(1-a)x^2+2ax+3-a=0$ має тільки один корінь.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок.Знайдемо «контрольні» значення параметра $a$, за яких коефіцієнт при $x^2$ стане рівним нулеві:$1-a=0\Longleftrightarrow a=1.$Розв’яжемо рівняння при $a=1$. Рівняння стане лінійним і матиме один корінь:$0x^2+2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x+3-\dfrac{1}{2}=0\Longleftrightarrow x=-\dfrac{5}{2}.$Якщо $a\neq\dfrac{1}{2}$, то рівняння є квадратним. Шукаємо дискримінант:$D=(2a)^2-4\cdot(1-a)\cdot(3-a)= 4a^2-(3-3a-a+a^2)=4(4a-3).$Дискримінант рівний нулеві за іншого «контрольного» значення параметра $a=\dfrac{3}{4}$.Саме коли $D=0$ рівняння теж має один корінь.Відповідь. $a=\dfrac{3}{4}$ або $a=1$.
Приклад
Розв’язати рівняння $(1-a^2)x^2-2(a+1)x=1$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок.Знайдемо «контрольні» значення параметра $a$, за яких коефіцієнт при $x^2$ стане рівним нулеві:$1-a^2=0\Longleftrightarrow a=\pm1.$Розв’яжемо рівняння при $a=-1$:$0x^2-2(-1+1)\cdot x=1\Longleftrightarrow0x=1\Longleftrightarrow x\in\emptyset.$Розв’яжемо рівняння при $a=1$:$0x^2-2(1+1)\cdot x=1\Longleftrightarrow x=-\dfrac{1}{4}$.Тепер розглянемо випадок $a\neq1$ — рівняння є квадратним.Шукаємо дискримінант:$D=(-2(a+1))^2-4(1-a^2)\cdot(-1)=4(a^2+2a+1)+4(1-a^2)=$$=4(a^2+2a+1+1-a^2)=4(2a+2)=8(a+1).$Знаходимо «контрольну» точку з умови $D=0$:$8(a+1)=0\Longleftrightarrow a=-1.$Але вже накладена умова $a\neq\pm1$, тому $D\neq0$.Дискримінант може бути лише більшим або меншим від нуля (пам’ятаємо при цьому, що $a\neq1$):$a>-1\Longrightarrow D>0$, і рівняння має два дійсних корені:$x_{1,2} = \dfrac{2(a+1)\pm\sqrt{8(a+1)}}{2(1-a^2)}=\dfrac{a+1\pm\sqrt{2(a+1)}}{1-a^2};$$aУ відповіді об’єднаємо це з випадком $a=-1$, де теж $x\in\emptyset.$Відповідь. при $a\in(-\infty;-1]$: $x\in\emptyset;$при $a\in\{1\}$: $x=\dfrac{1}{4};$при $a\in(-1;1)\cup(1;+\infty)$: $x_{1,2}=\dfrac{a+1\pm\sqrt{2(a+1)}}{1-a^2}.$
Last modified 2yr ago
Copy link