> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://math.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://math.ed-era.com/irratsionalni_nervnosti/metod_vidokremlennya_korenya.md). # Метод відокремлення кореня Спробуємо застосувати **метод відокремлення кореня** для нерівності $$2x+\sqrt{4x^2-1}>3.$$ Спочатку залишаємо доданок з коренем на самоті в лівій частині рівняння: | $$2x+\sqrt{4x^2-1}>3$$ | Вихідна нерівність | | ---------------------------------------------- | --------------------------------- | | $$2x+\sqrt{4x^2-1}$$ $$-2x$$ $$\gt 3$$ $$-2x$$ | Віднімаємо $$2x$$ від обох частин | | $$\sqrt{4x^2-1}>3-2x$$ | Спрощуємо | Поглянемо на отриману нерівність $$\sqrt{4x^2-1}>3-2x$$. За визначенням арифметичного кореня підкореневий вираз та значення кореня є завжди невід’ємними. Тоді область допустимих значень буде визначатись ось такою системою: $$\begin{cases} 4x^2-1\geq0,\\\ 3-2x\geq0. \end{cases}$$ Точно так само, як і в рівняннях, ми тепер можемо підносити обидві частини до квадрата, і в результаті отримаємо систему з трьох нерівностей: $$\begin{cases} 4x^2-1\geq0,\\\ 3-2x\geq0,\\\ (\sqrt{4x^2-1})^2>(3-2x)^2. \end{cases}$$ Остання нерівність спрощується до $$4x^2-1>(3-2x)^2$$. З властивостей парного степеня (див. [Лекцію 3](https://study.ed-era.com/courses/EdEra/m102/M102/courseware/a1d5d759fc724c8fbc07068c8ba57912/9194da7f20984aeb9b55d6f314afa615/)) ми знаємо, що число у парному степені завжди невід’ємне.\ Тому $$4x^2-1>(3-2x)^2\geq0$$. Умова з першої нерівності системи автоматично міститься у третій, тому її можна забрати: $$\begin{cases} 3-2x\geq0,\\\ 4x^2-1>(3-2x)^2. \end{cases}$$ Далі ця система рівнянь розв’язується легко і швидко (див. [Лекцію 9](https://study.ed-era.com/courses/EdEra/m102/M102/courseware/54554820f4534ac6a104d66974169b0a/f822671bcc834b78a597f9fd0112c324/)).\ Розв’язуємо кожну з нерівностей окремо: | $$\begin{eqnarray} 3-2x &\geq& 0 \nonumber\\\ -2x &\geq& -3 \nonumber\\\ x &\leq& \dfrac{3}{2} \nonumber \end{eqnarray}$$ | $$\begin{eqnarray} 4x^2-1 &>& (3-2x)^2 \nonumber\\\ 4x^2-1 &>& 9-12x+4x^2\nonumber\\\ 12x &>& 10 \nonumber\\\ x &>& \dfrac{5}{6} \end{eqnarray}$$ | | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | Зобразимо ці розв’язки на числовій прямій: /*Картинка з інтервалами*/ В результаті перетину двох множин розв’язків отримаємо $$x \in \left(\dfrac{5}{6};\dfrac{3}{2}\right].$$ Але існує ще **один випадок (!)** який ми не розглянули, де можуть міститися розв’язки системи. Ми виходили з припущення про те, що значення кореня є невід’ємним, так з’явилась нерівність $$3-2x\geq0$$. А що ж буде з нерівністю, якщо вираз $$3-2x$$ буде від’ємним? З’ясуймо це. Значення кореня $$\sqrt{4x^2-1}$$ за визначенням є завжди невід’ємним. Тому якщо праворуч стоїть від’ємний вираз, нерівність все одно справдиться, бо значення кореня завжди більше від будь-якого від’ємного числа: $$\sqrt{4x^2-1}\geq0>3-2x.$$ Якщо ж поглянути на нерівність $$\sqrt{4x^2-1}\geq0,$$ то вона справджується за будь-яких значень, коли підкореневий вираз задовольняє ОДЗ: $$4x^2-1\geq0.$$ В результаті маємо систему нерівностей: $$\begin{cases} 3-2x Розв’язуємо кожну з нерівностей окремо: | $$\begin{eqnarray} 3-2x && \dfrac{3}{2} \nonumber \end{eqnarray}$$ | $$\begin{eqnarray} 4x^2-1 &\geq& 0 \nonumber\\\ 4x^2-1 &\geq& 0 \nonumber\\\ (x-\dfrac{1}{2})(x+\dfrac{1}{2}) &\geq& 0 \nonumber\\\ x \geq \dfrac{1}{2} \cup x &\leq& -\dfrac{1}{2} \end{eqnarray}$$ | | ------------------------------------------------------------------ | ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | Зобразимо ці розв’язки на числовій прямій: /*Картинка з інтервалами*/ В результаті перетину двох множин розв'язків маємо $$x \in \left(\dfrac{3}{2};\infty\right).$$ Розглянувши два випадки, ми отримали дві множини розв’язків: $$x \in \left(\dfrac{5}{6};\dfrac{3}{2}\right]$$ та $$x \in \left(\dfrac{3}{2};\infty\right).$$ Після об’єднання отримуємо відповідь. /*Картинка з інтервалами*/ **Вiдповiдь.** $$x \in \left(\dfrac{5}{6};\infty\right).$$ Тепер давайте розглянемо нерівність: $$\sqrt{5-4x+x^2}< x+8.$$ Застосуємо метод відокремлення кореня. За визначенням арифметичного кореня підкореневий вираз та значення кореня є завжди невід’ємними. Через останню умову вираз в правій частині повинен бути додатним (нулем він бути не може, бо нерівність є строгою). Тоді область допустимих значень буде визначатись ось такою системою: $$\begin{cases} 5-4x+x^2\geq0,\\\ x+8>0. \end{cases}$$ Точно так само, як і в рівняннях ми тепер можемо підносити обидві частини до квадрата, і в результаті отримаємо систему з трьох нерівностей: $$\begin{cases} 5-4x+x^2\geq0,\\\ x+8>0,\\\ 5-4x+x^2 Розв’яжемо кожну з нерівностей окремо. Спочатку першу: $$5-4x+x^2\geq0.$$ Знайдемо дискримінант квадратного рівняння: $$D=(-4)^2-4⋅5⋅1=16-20=-4Дискримінант від’ємний – рівняння не має коренів. З урахуванням того, що коефіцієнт при $$x^2$$ додатний, ця нерівність справджуватиметься завжди. Продовжуємо розв’язувати другу та третю нерівності: $$\begin{eqnarray} x+8 &>& 0 \nonumber\\\ x &>& -8 \nonumber \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} 5-4x+x^2 && -\dfrac{59}{20} \end{eqnarray}$$ Зобразимо ці розв’язки на числовій прямій: /\*Картинка з інтервалами\*/Знаходимо перетин множин розв’язків та отримуємо відповідь. **Вiдповiдь.** $$x \in \left(-\dfrac{59}{20};\infty\right).$$ Наостанку, спробуємо розв’язати нерівність з кубічним коренем: $$x+\sqrt\[3]{3x^2-3x-7}>1.$$ Починаємо відокремлювати корінь: | $$x+\sqrt\[3]{3x^2-3x-7}>1$$ | Вихідна нерівність | | ------------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------------------------------------- | | $$x+\sqrt\[3]{3x^2-3x-7}\color{#0F5180}{-x}>1\color{#0F5180}{-x}$$ | Віднімаємо $$x$$ від обох частин | | $$\sqrt\[3]{3x^2-3x-7}>1-x$$ | Спрощуємо | | $$(\sqrt\[3]{3x^2-3x-7})^3>(1-x)^3$$ | Підносимо до куба обидві частини. Ніяких обмежень ОДЗ немає, бо це корінь непарного степеня | | $$3x^2-3x-7>1-3x+3x^2-x^3$$ | Спрощуємо | | $$x^3-8>0$$ | Збираємо всі доданки в лівій частині нерівності та спрощуємо | Розв’яжемо отриману нерівність методом інтервалів. Шукаємо нулі функції $$P(x)=x^3-8,$$ для цього розв'яжемо кубічне рівняння $$x^3-8=0$$\ (див. [Лекцію 7](https://study.ed-era.com/courses/EdEra/m102/M102/courseware/fd401ba328cc459681b42723a51edd78/ca62c80e92cf4c329e3fe0d34a5ddb29/)). Можливими коренями можуть бути дільники вільного доданка $$-8:$$ $$±1,±2,±4,±8.$$ Згадаємо теорему Безу, та по черзі підставимо можливі значення кореня в рівняння. Таким коренем буде $$x=2.$$ Тепер за схемою Горнера розділимо $$x^3-8$$ на $$x+2.$$ Для цього запишемо табличку з коефіцієнтами. Перший коефіцієнт копіюємо: | | $$1$$ | $$0$$ | $$0$$ | $$-8$$ | $$-2$$ | $$1$$ | | | | | - | ----- | ----- | ----- | ------ | ------ | ----- | - | - | - | І починаємо заповнювати табличку за правилом: крайнє справа число множиться на $$-2$$ та додається до числа, що стоїть над порожньою клітинкою: | | $$1$$ | $$0$$ | $$0$$ | $$-8$$ | $$2$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$4$$ | $$0$$ | | - | ----- | ----- | ----- | ------ | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | В результаті ми отримали розклад на множники багаточлена $$x^3-8=(x-2)(x^2-2x+4).$$ Спробуємо тепер знайти розв’язки рівняння $$x^2-2x+4=0.$$ Шукаємо дискримінант $$D=(-2)^2-4⋅1⋅4=4-16=-12<0$$ – отже, рівняння коренів не має. Отже, функція $$x^3-8$$ має єдиний нуль у точці $$x=2.$$ Відкладемо це значення на числовій осі та шукаємо знак функції на правому інтервалі $$(2;∞).$$ /*Картинка з інтервалами*/ Беремо наше тестове значення $$\color{#0F5181}{\textit{мільярд}}$$. $$P(\color{#0F5181}{\textit{мільярд}}) = (\underbrace{ \color{#0F5181}{\textit{мільярд}}-2}\_{>\thinspace\mbox{0}}) \\, (\underbrace{ \color{#0F5181}{\textit{мільярд}^2}-2⋅\color{#0F5181}{\textit{мільярд}}+4}\_{>\thinspace\mbox{0}}) \\, >0$$ /*Картинка з інтервалами*/ Обидва множники додатні, функція на цьому інтервалі має додатний знак. На іншому інтервалі буде, відповідно, протилежний знак. Отже, відповіддю буде інтервал $$x \in \left(2;\infty\right).$$ /*Картинка з інтервалами*/ **Вiдповiдь.** $$x \in \left(2;\infty\right).$$ Рівносильні переходи Тепер трошки поговоримо про рівносильні переходи – те, що ми використуємо під час розв’язку будь-яких нерівностей. Узагальнимо наш метод розв’язку з попереднього прикладу. Для ірраціональних нерівностей парного степеня вигляду$$\sqrt\[2k]{f(x)}>g(x)$$ справедливий рівносильний перехід:$$\sqrt\[2k]{f(x)}>g(x)\Longleftrightarrow\quad \left\[\begin{gathered} \quad \begin{cases} g (x)\geq0,\\\ f (x)>g^{2k}(x), \end{cases}\\\ \quad \begin{cases} g (x)$$\sqrt\[2k]{f(x)}$$\sqrt\[2k]{f(x)}0,\\\ f(x)$$\sqrt\[2k]{f(x)}>\sqrt\[2k]{g(x)}$$ справедливий рівносильний перехід:$$\sqrt\[2k]{f(x)}>\sqrt\[2k]{g(x)}\Longleftrightarrow\quad \quad \begin{cases} g (x)>0,\\\ f(x)>g(x). \end{cases}\\\ $$ Для ірраціональних нерівностей непарного степеня ніяких обмежень ОДЗ наявність ірраціональності не додає, тому можна користуватись рівносильними переходами: $$\sqrt\[2k+1]{f(x)}≶g(x)\Longleftrightarrow\quad f(x)≶g^{2k+1}(x).$$ Ці види рівносильних переходів краще не запам’ятовувати за формою, а зрозуміти як вони з’явились – і тоді їх можна буде вивести самостійно – як ми це зробили у трьох прикладах вище. Закріпимо описану концепцію в пам’яті декількома прикладами. Приклад **Розв’язати нерівність $$\sqrt{16-x^2}\geq4-x.$$** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.** Скористаємось рівносильним переходом:$$\sqrt\[2k]{f(x)}\geq g(x)\Longleftrightarrow\quad \left\[\begin{gathered} \quad \begin{cases} g (x)\geq0,\\\ f (x)\geq g^{2k}(x), \end{cases}\\\ \quad \begin{cases} g (x) Тоді нерівність перетвориться на таку систему нерівностей:$$\sqrt{16-x^2}\geq 4-x\Longleftrightarrow\quad \left\[\begin{gathered} \quad \begin{cases} 4-x\geq0,\\\ 16-x^2\geq (4-x)^2, \end{cases}\\\ \quad \begin{cases} 4-x Розглянемо кожну з двох систем нерівностей окремо, а потім об’єднаємо їхні розв’язки.Почнемо з першої системи $$\quad \begin{cases} 4-x\geq0,\\\ 16-x^2\geq (4-x)^2, \end{cases}$$ де є дві нерівності, що розв’язуються таким чином: $$\begin{eqnarray} 4-x &\geq& 0 \nonumber\\\ 4 &\geq& x \nonumber \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} 16-x^2 &\geq& (4-x)^2 \nonumber\\\ 16-x^2-(4-x)^2 &\geq& 0 \nonumber\\\ 16-x^2-(16-8x+x^2) &\geq& 0 \nonumber\\\ 16-x^2-16+8x-x^2 &\geq& 0 \nonumber\\\ -2x^2+8x &\geq& 0 \nonumber\\\ x^2-4x &\leq& 0 \nonumber\\\ x(x-4) &\leq& 0 \nonumber\\\ 0 &\leq& x \leq 4\nonumber \end{eqnarray}$$Тепер зобразимо ці два розв’язки на числовій прямій та шукаємо їхній перетин: /\*Картинка з інтервалами\*/Отримали розв’язок $$x \in \left\[0;4\right].$$ Тепер розв’язуємо другу систему $$\quad \begin{cases} 4-x $$\begin{eqnarray} 4-x & $$\begin{eqnarray} 16-x^2 &\geq& 0 \nonumber\\\ x^2-16 &\leq& 0 \nonumber\\\ (x-4)(x+4) &\leq& 0 \nonumber\\\ -4 &\leq& x \leq 4\nonumber \end{eqnarray}$$Тепер зобразимо ці два розв’язки на числовій прямій та шукаємо їхній перетин: /\*Картинка з інтервалами\*/Ці інтервали не перетинаються, ми отримали порожню множину $$x \in ∅$$.Об’єднавши розв’язки двох систем, отримаємо відповідь: /\*Картинка з інтервалами\*/**Вiдповiдь.** $$x \in \left\[0;4\right].$$ Приклад **Розв’язати нерівність $$\sqrt{3x-2}\leq3(2x-1).$$** Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.** Скористаємось рівносильним переходом$$\sqrt\[2k]{f(x)} 0,\\\ f (x) Тоді нерівність перетвориться на таку систему нерівностей:$$\sqrt{3x-2}\leq3(2x-1)\Longleftrightarrow\ \quad \begin{cases} 3x-2\geq0,\\\ 3(2x-1)\geq0,\\\ 3x-2\leq9(2x-1)^2. \end{cases}$$ Розглянемо кожну з нерівностей окремо, а потім знайдемо перетин їхніх розв’язків. Перша нерівність системи перетворюється на $$x\geq\dfrac{2}{3}$$. Розглянемо окремо другу і третю нерівності: $$\begin{eqnarray} 3(2x-1) &\geq& 0 \nonumber\\\ 2x-1 &\geq& 0 \nonumber\\\ x &\geq& \dfrac{1}{2} \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} 3x-2 &\leq& 9(2x-1)^2 \nonumber\\\ 3x-2 &\leq& 9(4x^2-4x+1) \nonumber\\\ 3x-2-36x^2+36x-9 &\leq& 0 \nonumber\\\ 36x^2-39x+11 &\geq& 0 \nonumber\\\ 12x^2-13x+1 &\geq& 0 \nonumber\\\ D=(-39)^2-4⋅36⋅11=-63\nonumber\\\ x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$$Тепер зобразимо всі розв’язки на числовій прямій та шукаємо їхній перетин: /\*Картинка з інтервалами\*/Отримали розв’язок $$x \in \left\[\dfrac{2}{3};\infty\right).$$**Вiдповiдь.** $$x \in \left\[\dfrac{2}{3};\infty\right).$$