Метод відокремлення кореня

Спробуємо застосувати метод відокремлення кореня для нерівності $2x+\sqrt{4x^2-1}>3.$

Спочатку залишаємо доданок з коренем на самоті в лівій частині рівняння:

$$2x+\sqrt{4x^2-1}>3$$	Вихідна нерівність
$$2x+\sqrt{4x^2-1}$$ $$-2x$$ $$\gt 3$$ $$-2x$$	Віднімаємо $$2x$$ від обох частин
$$\sqrt{4x^2-1}>3-2x$$	Спрощуємо

Поглянемо на отриману нерівність $\sqrt{4x^2-1}>3-2x$. За визначенням арифметичного кореня підкореневий вираз та значення кореня є завжди невід’ємними. Тоді область допустимих значень буде визначатись ось такою системою:

$$\begin{cases} 4x^2-1\geq0,\\ 3-2x\geq0. \end{cases}$$

Точно так само, як і в рівняннях, ми тепер можемо підносити обидві частини до квадрата, і в результаті отримаємо систему з трьох нерівностей:

$$\begin{cases} 4x^2-1\geq0,\\ 3-2x\geq0,\\ (\sqrt{4x^2-1})^2>(3-2x)^2. \end{cases}$$

Остання нерівність спрощується до $4x^2-1>(3-2x)^2$. З властивостей парного степеня (див. Лекцію 3) ми знаємо, що число у парному степені завжди невід’ємне. Тому $4x^2-1>(3-2x)^2\geq0$.

Умова з першої нерівності системи автоматично міститься у третій, тому її можна забрати:

$$\begin{cases} 3-2x\geq0,\\ 4x^2-1>(3-2x)^2. \end{cases}$$

Далі ця система рівнянь розв’язується легко і швидко (див. Лекцію 9). Розв’язуємо кожну з нерівностей окремо:

$$\begin{eqnarray} 3-2x &\geq& 0 \nonumber\\ -2x &\geq& -3 \nonumber\\ x &\leq& \dfrac{3}{2} \nonumber \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray} 4x^2-1 &>& (3-2x)^2 \nonumber\\ 4x^2-1 &>& 9-12x+4x^2\nonumber\\ 12x &>& 10 \nonumber\\ x &>& \dfrac{5}{6} \end{eqnarray}$$

Зобразимо ці розв’язки на числовій прямій: /Картинка з інтервалами/

В результаті перетину двох множин розв’язків отримаємо $x \in \left(\dfrac{5}{6};\dfrac{3}{2}\right].$

Але існує ще один випадок (!) який ми не розглянули, де можуть міститися розв’язки системи.

Ми виходили з припущення про те, що значення кореня є невід’ємним, так з’явилась нерівність $3-2x\geq0$. А що ж буде з нерівністю, якщо вираз $3-2x$ буде від’ємним? З’ясуймо це.

Значення кореня $$\sqrt{4x^2-1}$$ за визначенням є завжди невід’ємним. Тому якщо праворуч стоїть від’ємний вираз, нерівність все одно справдиться, бо значення кореня завжди більше від будь-якого від’ємного числа:

$$\sqrt{4x^2-1}\geq0>3-2x.$$

Якщо ж поглянути на нерівність $\sqrt{4x^2-1}\geq0,$ то вона справджується за будь-яких значень, коли підкореневий вираз задовольняє ОДЗ: $4x^2-1\geq0.$

В результаті маємо систему нерівностей:

$$\begin{cases} 3-2x

Розв’язуємо кожну з нерівностей окремо:

$$\begin{eqnarray} 3-2x && \dfrac{3}{2} \nonumber \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray} 4x^2-1 &\geq& 0 \nonumber\\ 4x^2-1 &\geq& 0 \nonumber\\ (x-\dfrac{1}{2})(x+\dfrac{1}{2}) &\geq& 0 \nonumber\\ x \geq \dfrac{1}{2} \cup x &\leq& -\dfrac{1}{2} \end{eqnarray}$$

Зобразимо ці розв’язки на числовій прямій: /Картинка з інтервалами/

В результаті перетину двох множин розв'язків маємо $x \in \left(\dfrac{3}{2};\infty\right).$

Розглянувши два випадки, ми отримали дві множини розв’язків: $x \in \left(\dfrac{5}{6};\dfrac{3}{2}\right]$ та $x \in \left(\dfrac{3}{2};\infty\right).$ Після об’єднання отримуємо відповідь.

/Картинка з інтервалами/

Вiдповiдь. $$x \in \left(\dfrac{5}{6};\infty\right).$$

Тепер давайте розглянемо нерівність: $\sqrt{5-4x+x^2}< x+8.$

Застосуємо метод відокремлення кореня. За визначенням арифметичного кореня підкореневий вираз та значення кореня є завжди невід’ємними. Через останню умову вираз в правій частині повинен бути додатним (нулем він бути не може, бо нерівність є строгою). Тоді область допустимих значень буде визначатись ось такою системою:

$$\begin{cases} 5-4x+x^2\geq0,\\ x+8>0. \end{cases}$$

Точно так само, як і в рівняннях ми тепер можемо підносити обидві частини до квадрата, і в результаті отримаємо систему з трьох нерівностей:

$$\begin{cases} 5-4x+x^2\geq0,\\ x+8>0,\\ 5-4x+x^2

Розв’яжемо кожну з нерівностей окремо.

Спочатку першу: $5-4x+x^2\geq0.$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння: $$D=(-4)^2-4⋅5⋅1=16-20=-4Дискримінант від’ємний – рівняння не має коренів. З урахуванням того, що коефіцієнт при $$x^2$$ додатний, ця нерівність справджуватиметься завжди. Продовжуємо розв’язувати другу та третю нерівності: $$\begin{eqnarray} x+8 &>& 0 \nonumber\\ x &>& -8 \nonumber \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} 5-4x+x^2 && -\dfrac{59}{20} \end{eqnarray}$$ Зобразимо ці розв’язки на числовій прямій: /*Картинка з інтервалами*/Знаходимо перетин множин розв’язків та отримуємо відповідь.

Вiдповiдь. $$x \in \left(-\dfrac{59}{20};\infty\right).$$

Наостанку, спробуємо розв’язати нерівність з кубічним коренем: $x+\sqrt[3]{3x^2-3x-7}>1.$

Починаємо відокремлювати корінь:

$$x+\sqrt[3]{3x^2-3x-7}>1$$	Вихідна нерівність
$$x+\sqrt[3]{3x^2-3x-7}\color{#0F5180}{-x}>1\color{#0F5180}{-x}$$	Віднімаємо $$x$$ від обох частин
$$\sqrt[3]{3x^2-3x-7}>1-x$$	Спрощуємо
$$(\sqrt[3]{3x^2-3x-7})^3>(1-x)^3$$	Підносимо до куба обидві частини. Ніяких обмежень ОДЗ немає, бо це корінь непарного степеня
$$3x^2-3x-7>1-3x+3x^2-x^3$$	Спрощуємо
$$x^3-8>0$$	Збираємо всі доданки в лівій частині нерівності та спрощуємо

Розв’яжемо отриману нерівність методом інтервалів.

Шукаємо нулі функції $P(x)=x^3-8,$ для цього розв'яжемо кубічне рівняння $x^3-8=0$ (див. Лекцію 7). Можливими коренями можуть бути дільники вільного доданка $-8:$ $±1,±2,±4,±8.$ Згадаємо теорему Безу, та по черзі підставимо можливі значення кореня в рівняння. Таким коренем буде $x=2.$

Тепер за схемою Горнера розділимо $x^3-8$ на $x+2.$ Для цього запишемо табличку з коефіцієнтами. Перший коефіцієнт копіюємо:

$$1$$

$$0$$

$$0$$

$$-8$$

$$-2$$

$$1$$

І починаємо заповнювати табличку за правилом: крайнє справа число множиться на $-2$ та додається до числа, що стоїть над порожньою клітинкою:

$$1$$

$$0$$

$$0$$

$$-8$$

$$2$$

$$1$$

$$2$$

$$4$$

$$0$$

В результаті ми отримали розклад на множники багаточлена $x^3-8=(x-2)(x^2-2x+4).$

Спробуємо тепер знайти розв’язки рівняння $x^2-2x+4=0.$ Шукаємо дискримінант $D=(-2)^2-4⋅1⋅4=4-16=-12<0$ – отже, рівняння коренів не має.

Отже, функція $x^3-8$ має єдиний нуль у точці $x=2.$ Відкладемо це значення на числовій осі та шукаємо знак функції на правому інтервалі $(2;∞).$

/Картинка з інтервалами/

Беремо наше тестове значення $\color{#0F5181}{\textit{мільярд}}$.

$$P(\color{#0F5181}{\textit{мільярд}}) = (\underbrace{ \color{#0F5181}{\textit{мільярд}}-2}_{>\thinspace\mbox{0}}) \, (\underbrace{ \color{#0F5181}{\textit{мільярд}^2}-2⋅\color{#0F5181}{\textit{мільярд}}+4}_{>\thinspace\mbox{0}}) \, >0$$

/Картинка з інтервалами/

Обидва множники додатні, функція на цьому інтервалі має додатний знак. На іншому інтервалі буде, відповідно, протилежний знак. Отже, відповіддю буде інтервал $x \in \left(2;\infty\right).$

/Картинка з інтервалами/

Вiдповiдь. $$x \in \left(2;\infty\right).$$

Рівносильні переходи

Тепер трошки поговоримо про рівносильні переходи – те, що ми використуємо під час розв’язку будь-яких нерівностей. Узагальнимо наш метод розв’язку з попереднього прикладу.

Для ірраціональних нерівностей парного степеня вигляду$$\sqrt[2k]{f(x)}>g(x)$$ справедливий рівносильний перехід:$$\sqrt[2k]{f(x)}>g(x)\Longleftrightarrow\quad \left[\begin{gathered} \quad \begin{cases} g (x)\geq0,\\ f (x)>g^{2k}(x), \end{cases}\\ \quad \begin{cases} g (x)$$\sqrt[2k]{f(x)}$$\sqrt[2k]{f(x)}0,\\ f(x)$$\sqrt[2k]{f(x)}>\sqrt[2k]{g(x)}$$ справедливий рівносильний перехід:$$\sqrt[2k]{f(x)}>\sqrt[2k]{g(x)}\Longleftrightarrow\quad \quad \begin{cases} g (x)>0,\\ f(x)>g(x). \end{cases}\\ $$

Для ірраціональних нерівностей непарного степеня ніяких обмежень ОДЗ наявність ірраціональності не додає, тому можна користуватись рівносильними переходами:

$$\sqrt[2k+1]{f(x)}≶g(x)\Longleftrightarrow\quad f(x)≶g^{2k+1}(x).$$

Ці види рівносильних переходів краще не запам’ятовувати за формою, а зрозуміти як вони з’явились – і тоді їх можна буде вивести самостійно – як ми це зробили у трьох прикладах вище.

Закріпимо описану концепцію в пам’яті декількома прикладами.

Приклад Розв’язати нерівність $$\sqrt{16-x^2}\geq4-x.$$

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок. Скористаємось рівносильним переходом:$$\sqrt[2k]{f(x)}\geq g(x)\Longleftrightarrow\quad \left[\begin{gathered} \quad \begin{cases} g (x)\geq0,\\ f (x)\geq g^{2k}(x), \end{cases}\\ \quad \begin{cases} g (x) Тоді нерівність перетвориться на таку систему нерівностей:$$\sqrt{16-x^2}\geq 4-x\Longleftrightarrow\quad \left[\begin{gathered} \quad \begin{cases} 4-x\geq0,\\ 16-x^2\geq (4-x)^2, \end{cases}\\ \quad \begin{cases} 4-x Розглянемо кожну з двох систем нерівностей окремо, а потім об’єднаємо їхні розв’язки.Почнемо з першої системи $$\quad \begin{cases} 4-x\geq0,\\ 16-x^2\geq (4-x)^2, \end{cases}$$ де є дві нерівності, що розв’язуються таким чином: $$\begin{eqnarray} 4-x &\geq& 0 \nonumber\\ 4 &\geq& x \nonumber \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} 16-x^2 &\geq& (4-x)^2 \nonumber\\ 16-x^2-(4-x)^2 &\geq& 0 \nonumber\\ 16-x^2-(16-8x+x^2) &\geq& 0 \nonumber\\ 16-x^2-16+8x-x^2 &\geq& 0 \nonumber\\ -2x^2+8x &\geq& 0 \nonumber\\ x^2-4x &\leq& 0 \nonumber\\ x(x-4) &\leq& 0 \nonumber\\ 0 &\leq& x \leq 4\nonumber \end{eqnarray}$$Тепер зобразимо ці два розв’язки на числовій прямій та шукаємо їхній перетин: /*Картинка з інтервалами*/Отримали розв’язок $$x \in \left[0;4\right].$$ Тепер розв’язуємо другу систему $$\quad \begin{cases} 4-x $$\begin{eqnarray} 4-x & $$\begin{eqnarray} 16-x^2 &\geq& 0 \nonumber\\ x^2-16 &\leq& 0 \nonumber\\ (x-4)(x+4) &\leq& 0 \nonumber\\ -4 &\leq& x \leq 4\nonumber \end{eqnarray}$$Тепер зобразимо ці два розв’язки на числовій прямій та шукаємо їхній перетин: /*Картинка з інтервалами*/Ці інтервали не перетинаються, ми отримали порожню множину $$x \in ∅$$.Об’єднавши розв’язки двох систем, отримаємо відповідь: /*Картинка з інтервалами*/Вiдповiдь. $$x \in \left[0;4\right].$$

Приклад Розв’язати нерівність $$\sqrt{3x-2}\leq3(2x-1).$$

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок. Скористаємось рівносильним переходом$$\sqrt[2k]{f(x)} 0,\\ f (x) Тоді нерівність перетвориться на таку систему нерівностей:$$\sqrt{3x-2}\leq3(2x-1)\Longleftrightarrow\ \quad \begin{cases} 3x-2\geq0,\\ 3(2x-1)\geq0,\\ 3x-2\leq9(2x-1)^2. \end{cases}$$ Розглянемо кожну з нерівностей окремо, а потім знайдемо перетин їхніх розв’язків. Перша нерівність системи перетворюється на $$x\geq\dfrac{2}{3}$$. Розглянемо окремо другу і третю нерівності: $$\begin{eqnarray} 3(2x-1) &\geq& 0 \nonumber\\ 2x-1 &\geq& 0 \nonumber\\ x &\geq& \dfrac{1}{2} \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} 3x-2 &\leq& 9(2x-1)^2 \nonumber\\ 3x-2 &\leq& 9(4x^2-4x+1) \nonumber\\ 3x-2-36x^2+36x-9 &\leq& 0 \nonumber\\ 36x^2-39x+11 &\geq& 0 \nonumber\\ 12x^2-13x+1 &\geq& 0 \nonumber\\ D=(-39)^2-4⋅36⋅11=-63\nonumber\\ x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$$Тепер зобразимо всі розв’язки на числовій прямій та шукаємо їхній перетин: /*Картинка з інтервалами*/Отримали розв’язок $$x \in \left[\dfrac{2}{3};\infty\right).$$Вiдповiдь. $$x \in \left[\dfrac{2}{3};\infty\right).$$