Лiнiйнi нерiвностi

 Визначення Лінійна нерівність з однією змінною — це нерівність вигляду $a\cdot x > b$ або $a\cdot x
Повернемося до нашого прикладу з мобільним зв’язком: Скільки Мб інтернет-трафіку може використати Сашко з бюджетом $75$ грн.? На це питання можна відповісти, розв’язавши нерівність
$40 + 0,05x \leq 75$
відносно змінної $x$. Метод розв’язання майже такий самий, як і для рівняння
$40 + 0,05x = 75$
Нашою метою є залишити $x$ «на самоті» в лівій частині:
$ \begin{align} 40 + 0,05x & \le 75 \\ 40 + 0,05x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4\color{#1570bd}0 & \le 75 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4\color{#1570bd}0 \\ 0,05x & \le 35 \\ \dfrac{0,05}{\color{#1570bd}0\color{#1570bd},\color{#1570bd}0\color{#1570bd}5}x & \le \dfrac{35}{\color{#1570bd}0\color{#1570bd},\color{#1570bd}0\color{#1570bd}5} \\ x & \le 700 \end{align}$
Вихідна нерівність
Віднімаємо $40$ від обох частин
Спрощуємо
Ділимо обидві частини нерівності на $0,05$
Спрощуємо
Отже, на місяць, маючи $75$ грн і тариф «Шалений день», Сашко може витрачати $700$ МБ мобільного інтернету. Ми розпочали з нерівності $40+0,05x\leq75$ та перейшли до рівносильної нерівності $x\leq700$.
 Алгоритм Pозв’язання лінійних нерівностей
1.Спростити обидві частини нерівності.
2.Зібрати всі доданки, що містять $x$ в одній частині нерівності (як правило лівій), а всі вільні доданки – в іншій.
3.Розділити обидві частини нерівності на коефіцієнт при змінній $x$.
4.Записати відповідь в інтервальному представленні та зобразити її на числовій прямій.
 Приклад
Розв’язати нерівність: $3x Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Спрощувати тут вже нема чого, всі доданки з $x$ в лівій частині, вільні доданки – у правій. Переходимо відразу до пункту $3$: необхідно розділити обидві частини нерівності на коефіцієнт при змінній $x$ та спростити отриманий вираз.$ \begin{align} 3x & \lt 8 \\ \dfrac{3}{3}x & \lt \dfrac{8}{3} \\ x & \lt \dfrac{8}{3} \end{align}$Вихідна нерівність
Ділимо обидві частини на $3$

СпрощуємоЄдине, що залишилось – записати відповідь в інтервальному представленні та зобразити її на числовій прямій:
 Вiдповiдь. $x \in (-\infty;\dfrac{8}{3})$.
 Приклад
Розв’язати нерівність: $-2\leq2-4x$.
 Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Всі доданки з $x$ вже розміщені в правій частині, збираємо всі вільні доданки в лівій:$ \begin{align} -2 & \le 2 - 4x \\ -2 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 & \le 2 - 4x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 \\ -4 & \le -4x \end{align}$Вихідна нерівність
Віднімаємо $2$ від обох частин
СпрощуємоДілимо обидві частини на коефіцієнт при змінній:$ \begin{align} \dfrac{-4}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}4} & \color{#1570bd}\ge \dfrac{-4}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}4}x \\ 1 & \ge x \end{align}$Ділимо обидві частини на $-4$ та змінюємо знак нерівності на протилежний
СпрощуємоТепер записуємо відповідь в інтервальному представленні та зображаємо її на числовій прямій:
 Вiдповiдь. $x \in (-\infty;1]$.
 Приклад
Розв’язати нерівність: $5(x-1)>x+3$.
 Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Розкриваємо дужки та забираємо змінну $x$ в лівій частині нерівності:$ \begin{align} 5(x-1) & \gt x + 3 \\ 5x - 5 & \gt x + 3 \\ 5x - 5 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}x & \gt x + 3 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}x \\ 4x - 5 & \gt 3 \\ \end{align}$Вихідна нерівність
Розкриваємо дужки в лівій частині
Віднімаємо $x$ від обох частин
СпрощуємоВсі вільні доданки залишаємо в правій частині нерівності:$ \begin{align} 4x - 5 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}5 & \gt 3 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}5 \\ 4x & \gt 8 \\ \end{align}$Додаємо $5$ до обох частин
СпрощуємоДілимо обидві частини на коефіцієнт при змінній:$ \begin{align} \dfrac{4}{\color{#1570bd}4}x & \gt \dfrac{8}{\color{#1570bd}4} \\ x & \gt 2 \\ \end{align}$Ділимо обидві частини на $4$
СпрощуємоЗаписуємо відповідь в інтервальному представленні та зображаємо її на числовій прямій:
 Вiдповiдь. $x \in (2;+\infty)$.
 Приклад
Розв’язати нерівність: $\dfrac{(2x-1)^2}{4}-\dfrac{3(x-1)}{4} \geq x^2$.
 Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Розкриваємо дужки та спрощуємо вирази в лівій частині нерівності:$ \begin{align} \dfrac{(2x-1)^2}{4} - \dfrac{3(x-1)}{4} & \ge x^2 \\ \color{#1570bd}4 \left(\dfrac{(2x-1)^2}{4} - \dfrac{3(x-1)}{4}\right) & \ge \color{#1570bd}4\color{#1570bd}(x^2\color{#1570bd}) \\ \dfrac{1 \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}4}{4}(2x-1)^2 - \dfrac{3 \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}4}{4}(x-1) & \ge 4x^2 \\ (2x-1)^2 - 3(x-1) & \ge 4x^2 \\ (4x^2 - 4x + 1) - (3x-3) & \ge 4x^2 \\ 4x^2 - 7x + 4 & \ge 4x^2 \\ \end{align}$Вихідна нерівність

Множимо обидві частини на $4$

Розкриваємо дужки

Спрощуємо
Розкриваємо дужки
СпрощуємоЗбираємо всі доданки зі змінною $x$ в лівій частині, а вільні доданки – в правій:$ \begin{align} 4x^2 - 7x + 4 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4\color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 & \ge 4x^2 - \color{#1570bd}4\color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 \\ - 7x + 4 & \ge 0 \\ - 7x + 4 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4 & \ge 0 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4 \\ - 7x & \ge -4 \\ \end{align}$Віднімаємо $4x^2$ від обох частин
Спрощуємо
Віднімаємо $4$ від обох частин
СпрощуємоДілимо на коефіцієнт при змінній:$ \begin{align} \dfrac{-7}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}7} \thinspace x & \color{#1570bd}\le \dfrac{-4}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}7} \\ x & \le \dfrac{4}{7} \end{align}$Ділимо обидві частини на $-7$ та змінюємо знак нерівності на протилежний
СпрощуємоЗаписуємо відповідь в інтервальному представленні та зображаємо її на числовій прямій:
 Вiдповiдь. $x \in \left(-\infty;\dfrac{4}{7}\right]$.
Розв'язати нерівність: $4(x-2)>5(x-3)$ $x $x>7$ $x $x>-7$
Розкриємо дужки і спростимо нерівність:
$4x-8>5x-15$
$4x-5x>-15+8$
$-x>-7$
Помножимо обидві частини нерівності на $-1$, при цьому знак нерівності зміниться на протилежний:
$x
Розв'язати нерівність: $7x-1+4(x+3) $x>\dfrac{11}{5}$ $x $x>-\dfrac{11}{5}$ $xPозкриємо дужки і спростимо нерівність:$7x-1+4x+12$11x-6x$5xПомножимо обидві частини нерівності на $\dfrac{1}{5}$:$x

Основні властивості

Система та сукупність нерівностей

Last modified 3yr ago

Copy link