# Лiнiйнi нерiвностi Визначення **Лінійна нерівність з однією змінною** — це нерівність вигляду $$a\cdot x > b$$ або $$a\cdot x Повернемося до нашого прикладу з мобільним зв’язком: Скільки Мб інтернет-трафіку може використати Сашко з бюджетом $$75$$ грн.? На це питання можна відповісти, розв’язавши нерівність $$40 + 0,05x \leq 75$$ відносно змінної $$x$$. Метод розв’язання майже такий самий, як і для рівняння $$40 + 0,05x = 75$$ Нашою метою є **залишити $$x$$ «на самоті» в лівій частині**: | $$ \begin{align} 40 + 0,05x & \le 75 \\\ 40 + 0,05x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4\color{#1570bd}0 & \le 75 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4\color{#1570bd}0 \\\ 0,05x & \le 35 \\\ \dfrac{0,05}{\color{#1570bd}0\color{#1570bd},\color{#1570bd}0\color{#1570bd}5}x & \le \dfrac{35}{\color{#1570bd}0\color{#1570bd},\color{#1570bd}0\color{#1570bd}5} \\\ x & \le 700 \end{align}$$ |

Вихідна нерівність
Віднімаємо $$40$$ від обох частин
Спрощуємо
Ділимо обидві частини нерівності на $$0,05$$
Спрощуємо

| | ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | Отже, на місяць, маючи $$75$$ грн і тариф «Шалений день», Сашко може витрачати $$700$$ МБ мобільного інтернету. Ми розпочали з нерівності $$40+0,05x\leq75$$ та перейшли до рівносильної нерівності $$x\leq700$$. Алгоритм **Pозв’язання лінійних нерівностей** 1. Спростити обидві частини нерівності. 2. Зібрати всі доданки, що містять $$x$$ в одній частині нерівності (як правило лівій), а всі вільні доданки – в іншій. 3. Розділити обидві частини нерівності на коефіцієнт при змінній $$x$$. 4. Записати відповідь в інтервальному представленні та зобразити її на числовій прямій. Приклад Розв’язати нерівність: $$3x Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Спрощувати тут вже нема чого, всі доданки з $$x$$ в лівій частині, вільні доданки – у правій. Переходимо відразу до пункту **$$3$$**: необхідно розділити обидві частини нерівності на коефіцієнт при змінній $$x$$ та спростити отриманий вираз.$$ \begin{align} 3x & \lt 8 \\\ \dfrac{3}{3}x & \lt \dfrac{8}{3} \\\ x & \lt \dfrac{8}{3} \end{align}$$Вихідна нерівність\ Ділимо обидві частини на $$3$$\ \ СпрощуємоЄдине, що залишилось – записати відповідь в інтервальному представленні та зобразити її на числовій прямій:![](/files/-LWNRQ4pYDdBaqsI4pz2) **Вiдповiдь.** $$x \in (-\infty;\dfrac{8}{3})$$. Приклад Розв’язати нерівність: $$-2\leq2-4x$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Всі доданки з $$x$$ вже розміщені в правій частині, збираємо всі вільні доданки в лівій:$$ \begin{align} -2 & \le 2 - 4x \\\ -2 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 & \le 2 - 4x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 \\\ -4 & \le -4x \end{align}$$Вихідна нерівність\ Віднімаємо $$2$$ від обох частин\ СпрощуємоДілимо обидві частини на коефіцієнт при змінній:$$ \begin{align} \dfrac{-4}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}4} & \color{#1570bd}\ge \dfrac{-4}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}4}x \\\ 1 & \ge x \end{align}$$Ділимо обидві частини на $$-4$$ та змінюємо знак нерівності на протилежний\ СпрощуємоТепер записуємо відповідь в інтервальному представленні та зображаємо її на числовій прямій:![](/files/-LWNRQ4r1IpM17eO0wLD) **Вiдповiдь.** $$x \in (-\infty;1]$$. Приклад Розв’язати нерівність: $$5(x-1)>x+3$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Розкриваємо дужки та забираємо змінну $$x$$ в лівій частині нерівності:$$ \begin{align} 5(x-1) & \gt x + 3 \\\ 5x - 5 & \gt x + 3 \\\ 5x - 5 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}x & \gt x + 3 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}x \\\ 4x - 5 & \gt 3 \\\ \end{align}$$Вихідна нерівність\ Розкриваємо дужки в лівій частині\ Віднімаємо $$x$$ від обох частин\ СпрощуємоВсі вільні доданки залишаємо в правій частині нерівності:$$ \begin{align} 4x - 5 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}5 & \gt 3 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}5 \\\ 4x & \gt 8 \\\ \end{align}$$Додаємо $$5$$ до обох частин\ СпрощуємоДілимо обидві частини на коефіцієнт при змінній:$$ \begin{align} \dfrac{4}{\color{#1570bd}4}x & \gt \dfrac{8}{\color{#1570bd}4} \\\ x & \gt 2 \\\ \end{align}$$Ділимо обидві частини на $$4$$\ СпрощуємоЗаписуємо відповідь в інтервальному представленні та зображаємо її на числовій прямій:![](/files/-LWNRQ4tQlEm2U6RWBsd) **Вiдповiдь.** $$x \in (2;+\infty)$$. Приклад Розв’язати нерівність: $$\dfrac{(2x-1)^2}{4}-\dfrac{3(x-1)}{4} \geq x^2$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Розкриваємо дужки та спрощуємо вирази в лівій частині нерівності:$$ \begin{align} \dfrac{(2x-1)^2}{4} - \dfrac{3(x-1)}{4} & \ge x^2 \\\ \color{#1570bd}4 \left(\dfrac{(2x-1)^2}{4} - \dfrac{3(x-1)}{4}\right) & \ge \color{#1570bd}4\color{#1570bd}(x^2\color{#1570bd}) \\\ \dfrac{1 \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}4}{4}(2x-1)^2 - \dfrac{3 \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}4}{4}(x-1) & \ge 4x^2 \\\ (2x-1)^2 - 3(x-1) & \ge 4x^2 \\\ (4x^2 - 4x + 1) - (3x-3) & \ge 4x^2 \\\ 4x^2 - 7x + 4 & \ge 4x^2 \\\ \end{align}$$Вихідна нерівність\ \ Множимо обидві частини на $$4$$\ \ Розкриваємо дужки\ \ Спрощуємо\ Розкриваємо дужки\ СпрощуємоЗбираємо всі доданки зі змінною $$x$$ в лівій частині, а вільні доданки – в правій:$$ \begin{align} 4x^2 - 7x + 4 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4\color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 & \ge 4x^2 - \color{#1570bd}4\color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 \\\ - 7x + 4 & \ge 0 \\\ - 7x + 4 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4 & \ge 0 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4 \\\ - 7x & \ge -4 \\\ \end{align}$$Віднімаємо $$4x^2$$ від обох частин\ Спрощуємо\ Віднімаємо $$4$$ від обох частин\ СпрощуємоДілимо на коефіцієнт при змінній:$$ \begin{align} \dfrac{-7}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}7} \thinspace x & \color{#1570bd}\le \dfrac{-4}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}7} \\\ x & \le \dfrac{4}{7} \end{align}$$Ділимо обидві частини на $$-7$$ та змінюємо знак нерівності на протилежний\ СпрощуємоЗаписуємо відповідь в інтервальному представленні та зображаємо її на числовій прямій:![](/files/-LWNRQ4v9uupo6dA0JNo) **Вiдповiдь.** $$x \in \left(-\infty;\dfrac{4}{7}\right]$$. Розв'язати нерівність: $$4(x-2)>5(x-3)$$ $$x $$x>7$$ $$x $$x>-7$$ Розкриємо дужки і спростимо нерівність: $$4x-8>5x-15$$ $$4x-5x>-15+8$$ $$-x>-7$$ Помножимо обидві частини нерівності на $$-1$$, при цьому знак нерівності зміниться на протилежний: $$x Розв'язати нерівність: $$7x-1+4(x+3) $$x>\dfrac{11}{5}$$ $$x $$x>-\dfrac{11}{5}$$ $$xPозкриємо дужки і спростимо нерівність:$$7x-1+4x+12$$11x-6x$$5xПомножимо обидві частини нерівності на $$\dfrac{1}{5}$$:$$x --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://math.ed-era.com/zagaln_vdomost_pro_nervnost/liniini_nerivnosti.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.