# Лiнiйнi нерiвностi Визначення **Лінійна нерівність з однією змінною** — це нерівність вигляду $$a\cdot x > b$$ або $$a\cdot x Повернемося до нашого прикладу з мобільним зв’язком: Скільки Мб інтернет-трафіку може використати Сашко з бюджетом $$75$$ грн.? На це питання можна відповісти, розв’язавши нерівність $$40 + 0,05x \leq 75$$ відносно змінної $$x$$. Метод розв’язання майже такий самий, як і для рівняння $$40 + 0,05x = 75$$ Нашою метою є **залишити $$x$$ «на самоті» в лівій частині**: | $$ \begin{align} 40 + 0,05x & \le 75 \\\ 40 + 0,05x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4\color{#1570bd}0 & \le 75 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4\color{#1570bd}0 \\\ 0,05x & \le 35 \\\ \dfrac{0,05}{\color{#1570bd}0\color{#1570bd},\color{#1570bd}0\color{#1570bd}5}x & \le \dfrac{35}{\color{#1570bd}0\color{#1570bd},\color{#1570bd}0\color{#1570bd}5} \\\ x & \le 700 \end{align}$$ |

Вихідна нерівність
Віднімаємо $$40$$ від обох частин
Спрощуємо
Ділимо обидві частини нерівності на $$0,05$$
Спрощуємо

| | ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | Отже, на місяць, маючи $$75$$ грн і тариф «Шалений день», Сашко може витрачати $$700$$ МБ мобільного інтернету. Ми розпочали з нерівності $$40+0,05x\leq75$$ та перейшли до рівносильної нерівності $$x\leq700$$. Алгоритм **Pозв’язання лінійних нерівностей** 1. Спростити обидві частини нерівності. 2. Зібрати всі доданки, що містять $$x$$ в одній частині нерівності (як правило лівій), а всі вільні доданки – в іншій. 3. Розділити обидві частини нерівності на коефіцієнт при змінній $$x$$. 4. Записати відповідь в інтервальному представленні та зобразити її на числовій прямій. Приклад Розв’язати нерівність: $$3x Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Спрощувати тут вже нема чого, всі доданки з $$x$$ в лівій частині, вільні доданки – у правій. Переходимо відразу до пункту **$$3$$**: необхідно розділити обидві частини нерівності на коефіцієнт при змінній $$x$$ та спростити отриманий вираз.$$ \begin{align} 3x & \lt 8 \\\ \dfrac{3}{3}x & \lt \dfrac{8}{3} \\\ x & \lt \dfrac{8}{3} \end{align}$$Вихідна нерівність\ Ділимо обидві частини на $$3$$\ \ СпрощуємоЄдине, що залишилось – записати відповідь в інтервальному представленні та зобразити її на числовій прямій:![](https://1734036382-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LWNQxSYDugYY3VVIuCe%2F-LWNR14emXVvPcz41XxZ%2F-LWNRQ4pYDdBaqsI4pz2%2Fp14_8.png?generation=1547672077617636\&alt=media) **Вiдповiдь.** $$x \in (-\infty;\dfrac{8}{3})$$. Приклад Розв’язати нерівність: $$-2\leq2-4x$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Всі доданки з $$x$$ вже розміщені в правій частині, збираємо всі вільні доданки в лівій:$$ \begin{align} -2 & \le 2 - 4x \\\ -2 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 & \le 2 - 4x \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 \\\ -4 & \le -4x \end{align}$$Вихідна нерівність\ Віднімаємо $$2$$ від обох частин\ СпрощуємоДілимо обидві частини на коефіцієнт при змінній:$$ \begin{align} \dfrac{-4}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}4} & \color{#1570bd}\ge \dfrac{-4}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}4}x \\\ 1 & \ge x \end{align}$$Ділимо обидві частини на $$-4$$ та змінюємо знак нерівності на протилежний\ СпрощуємоТепер записуємо відповідь в інтервальному представленні та зображаємо її на числовій прямій:![](https://1734036382-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LWNQxSYDugYY3VVIuCe%2F-LWNR14emXVvPcz41XxZ%2F-LWNRQ4r1IpM17eO0wLD%2Fp14_9.png?generation=1547672080403258\&alt=media) **Вiдповiдь.** $$x \in (-\infty;1]$$. Приклад Розв’язати нерівність: $$5(x-1)>x+3$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Розкриваємо дужки та забираємо змінну $$x$$ в лівій частині нерівності:$$ \begin{align} 5(x-1) & \gt x + 3 \\\ 5x - 5 & \gt x + 3 \\\ 5x - 5 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}x & \gt x + 3 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}x \\\ 4x - 5 & \gt 3 \\\ \end{align}$$Вихідна нерівність\ Розкриваємо дужки в лівій частині\ Віднімаємо $$x$$ від обох частин\ СпрощуємоВсі вільні доданки залишаємо в правій частині нерівності:$$ \begin{align} 4x - 5 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}5 & \gt 3 \color{#1570bd}+ \color{#1570bd}5 \\\ 4x & \gt 8 \\\ \end{align}$$Додаємо $$5$$ до обох частин\ СпрощуємоДілимо обидві частини на коефіцієнт при змінній:$$ \begin{align} \dfrac{4}{\color{#1570bd}4}x & \gt \dfrac{8}{\color{#1570bd}4} \\\ x & \gt 2 \\\ \end{align}$$Ділимо обидві частини на $$4$$\ СпрощуємоЗаписуємо відповідь в інтервальному представленні та зображаємо її на числовій прямій:![](https://1734036382-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LWNQxSYDugYY3VVIuCe%2F-LWNR14emXVvPcz41XxZ%2F-LWNRQ4tQlEm2U6RWBsd%2Fp14_10.png?generation=1547672082526298\&alt=media) **Вiдповiдь.** $$x \in (2;+\infty)$$. Приклад Розв’язати нерівність: $$\dfrac{(2x-1)^2}{4}-\dfrac{3(x-1)}{4} \geq x^2$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок**.Розкриваємо дужки та спрощуємо вирази в лівій частині нерівності:$$ \begin{align} \dfrac{(2x-1)^2}{4} - \dfrac{3(x-1)}{4} & \ge x^2 \\\ \color{#1570bd}4 \left(\dfrac{(2x-1)^2}{4} - \dfrac{3(x-1)}{4}\right) & \ge \color{#1570bd}4\color{#1570bd}(x^2\color{#1570bd}) \\\ \dfrac{1 \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}4}{4}(2x-1)^2 - \dfrac{3 \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}4}{4}(x-1) & \ge 4x^2 \\\ (2x-1)^2 - 3(x-1) & \ge 4x^2 \\\ (4x^2 - 4x + 1) - (3x-3) & \ge 4x^2 \\\ 4x^2 - 7x + 4 & \ge 4x^2 \\\ \end{align}$$Вихідна нерівність\ \ Множимо обидві частини на $$4$$\ \ Розкриваємо дужки\ \ Спрощуємо\ Розкриваємо дужки\ СпрощуємоЗбираємо всі доданки зі змінною $$x$$ в лівій частині, а вільні доданки – в правій:$$ \begin{align} 4x^2 - 7x + 4 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4\color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 & \ge 4x^2 - \color{#1570bd}4\color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 \\\ - 7x + 4 & \ge 0 \\\ - 7x + 4 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4 & \ge 0 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}4 \\\ - 7x & \ge -4 \\\ \end{align}$$Віднімаємо $$4x^2$$ від обох частин\ Спрощуємо\ Віднімаємо $$4$$ від обох частин\ СпрощуємоДілимо на коефіцієнт при змінній:$$ \begin{align} \dfrac{-7}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}7} \thinspace x & \color{#1570bd}\le \dfrac{-4}{\color{#1570bd}-\color{#1570bd}7} \\\ x & \le \dfrac{4}{7} \end{align}$$Ділимо обидві частини на $$-7$$ та змінюємо знак нерівності на протилежний\ СпрощуємоЗаписуємо відповідь в інтервальному представленні та зображаємо її на числовій прямій:![](https://1734036382-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-LWNQxSYDugYY3VVIuCe%2F-LWNR14emXVvPcz41XxZ%2F-LWNRQ4v9uupo6dA0JNo%2Fp14_11.png?generation=1547672079942248\&alt=media) **Вiдповiдь.** $$x \in \left(-\infty;\dfrac{4}{7}\right]$$. Розв'язати нерівність: $$4(x-2)>5(x-3)$$ $$x $$x>7$$ $$x $$x>-7$$ Розкриємо дужки і спростимо нерівність: $$4x-8>5x-15$$ $$4x-5x>-15+8$$ $$-x>-7$$ Помножимо обидві частини нерівності на $$-1$$, при цьому знак нерівності зміниться на протилежний: $$x Розв'язати нерівність: $$7x-1+4(x+3) $$x>\dfrac{11}{5}$$ $$x $$x>-\dfrac{11}{5}$$ $$xPозкриємо дужки і спростимо нерівність:$$7x-1+4x+12$$11x-6x$$5xПомножимо обидві частини нерівності на $$\dfrac{1}{5}$$:$$x