Метод підстановки
Якщо з одного рівняння системи можна виразити одну змінну через іншу (наприклад, $y = f(x)$, або навпаки), то після підстановки отриманого виразу в друге рівняння отримана система рівнянь рівносильна вихідній:
$\begin{cases} F(x, y) = 0,\\ y = f(x); \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} F(x, f(x)) = 0,\\ y = f(x). \end{cases}$
Після цього розв’язуємо рівняння $F(x, f(x)) = 0$ з однією змінною $x$. Для отримання значень $y$ знайдені значення $x$ підставляємо у рівняння $y = f(x)$.
Цей метод зручно використовувати, коли хоча б одна зі змінних присутня лише в першому степені.
Приклад
Розв’язати систему рівнянь $\begin{cases} x + y = 1,\\ x^2 - y^2 = 2y. \end{cases}$
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.З першого рівняння виражаємо $x$ через $y$: $x + y = 1 \Longleftrightarrow x = 1 - y.$Підставляємо цей вираз у друге рівняння:$(1 - y)^2 - y^2 = 2y \Longleftrightarrow 1 - 2y + y^2 - y^2 = 2y \Longleftrightarrow 1 - 2y = 2y \Longleftrightarrow y = \dfrac{1}{4}.$Отже, $y_0 = \dfrac{1}{4}.$Знаходимо значення $x_0$, підставиши $y_0$ в перше рівняння:$x_0 = 1 - y_0 = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}.$Відповідь. $\left(\dfrac{3}{4}; \dfrac{1}{4}\right).$
Розв'язати систему рівнянь: $\begin{cases} x+y=1\\ x-y=7 \end{cases}$ $(4;-3)$ $(4;3)$ $(-4;-3)$ $(-4;3)$
Виразимо $x$ через $y$:
$\begin{cases} x=1-y\\ x-y=7 \end{cases}$
Підставимо у друге рівняння $x$ і спростимо систему:
$\begin{cases} x=1-y\\ 1-y-y=7 \end{cases}$
$\begin{cases} x=1-y\\ -2y=6 \end{cases}$
Помножимо друге рівняння системи на $-\dfrac{1}{2}$:
$\begin{cases} x=1-y\\ y=-3 \end{cases}$
Тепер, знаючи значення $y$, знайдемо значення $x$:
$\begin{cases} x=1-(-3)\\ y=-3 \end{cases}$
$\begin{cases} x=4\\ y=-3 \end{cases}$
Розв'язати систему рівнянь: $\begin{cases} 3x+5y=21\\ 8x-3y=7 \end{cases}$ $(2;-3)$ $(-2;3)$ $(2;3)$ $(-2;-3)$
Перше рівняння помножимо на $\dfrac{1}{3}$, і виразимо $x$ через $y$:
$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}y+7\\ 8x-3y=7 \end{cases}$
Підставимо у друге рівняння $x$ і спростимо систему:
$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}y+7\\ 8(-\dfrac{5}{3}y+7)-3y=7 \end{cases}$
$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}y+7\\ -\dfrac{49}{3}y=-49 \end{cases}$ Помножимо друге рівняння системи на $-\dfrac{3}{49}$:
$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}y+7\\ y=3 \end{cases}$
Тепер, знаючи значення $y$, знайдемо значення $x$:
$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}\cdot3+7\\ y=3 \end{cases}$
$\begin{cases} x=2\\ y=3 \end{cases}$
Last modified 2yr ago
Copy link