> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://math.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://math.ed-era.com/zagaln_vdomost/metod_pdstanovki.md).

# Метод підстановки

Якщо з одного рівняння системи можна виразити одну змінну через іншу (наприклад, $$y = f(x)$$, або навпаки), то після підстановки отриманого виразу в друге рівняння отримана система рівнянь рівносильна вихідній:

$$\begin{cases} F(x, y) = 0,\\\ y = f(x); \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} F(x, f(x)) = 0,\\\ y = f(x). \end{cases}$$

Після цього розв’язуємо рівняння $$F(x, f(x)) = 0$$ з однією змінною $$x$$. Для отримання значень $$y$$ знайдені значення $$x$$ підставляємо у рівняння $$y = f(x)$$.

Цей метод зручно використовувати, коли хоча б одна зі змінних присутня лише в першому степені.

 Приклад

Розв’язати систему рівнянь $$\begin{cases} x + y = 1,\\\ x^2 - y^2 = 2y. \end{cases}$$

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**З першого рівняння виражаємо $$x$$ через $$y$$: $$x + y = 1 \Longleftrightarrow x = 1 - y.$$Підставляємо цей вираз у друге рівняння:$$(1 - y)^2 - y^2 = 2y \Longleftrightarrow 1 - 2y + y^2 - y^2 = 2y \Longleftrightarrow 1 - 2y = 2y \Longleftrightarrow y = \dfrac{1}{4}.$$Отже, $$y\_0 = \dfrac{1}{4}.$$Знаходимо значення $$x\_0$$, підставиши $$y\_0$$ в перше рівняння:$$x\_0 = 1 - y\_0 = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}.$$**Відповідь.** $$\left(\dfrac{3}{4}; \dfrac{1}{4}\right).$$

Розв'язати систему рівнянь: $$\begin{cases} x+y=1\\\ x-y=7 \end{cases}$$ $$(4;-3)$$ $$(4;3)$$ $$(-4;-3)$$ $$(-4;3)$$

Виразимо $$x$$ через $$y$$:

$$\begin{cases} x=1-y\\\ x-y=7 \end{cases}$$

Підставимо у друге рівняння $$x$$ і спростимо систему:

$$\begin{cases} x=1-y\\\ 1-y-y=7 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x=1-y\\\ -2y=6 \end{cases}$$

Помножимо друге рівняння системи на $$-\dfrac{1}{2}$$:

$$\begin{cases} x=1-y\\\ y=-3 \end{cases}$$

Тепер, знаючи значення $$y$$, знайдемо значення $$x$$:

$$\begin{cases} x=1-(-3)\\\ y=-3 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x=4\\\ y=-3 \end{cases}$$

Розв'язати систему рівнянь: $$\begin{cases} 3x+5y=21\\\ 8x-3y=7 \end{cases}$$ $$(2;-3)$$ $$(-2;3)$$ $$(2;3)$$ $$(-2;-3)$$

Перше рівняння помножимо на $$\dfrac{1}{3}$$, і виразимо $$x$$ через $$y$$:

$$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}y+7\\\ 8x-3y=7 \end{cases}$$

Підставимо у друге рівняння $$x$$ і спростимо систему:

$$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}y+7\\\ 8(-\dfrac{5}{3}y+7)-3y=7 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}y+7\\\ -\dfrac{49}{3}y=-49 \end{cases}$$ Помножимо друге рівняння системи на $$-\dfrac{3}{49}$$:

$$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}y+7\\\ y=3 \end{cases}$$

Тепер, знаючи значення $$y$$, знайдемо значення $$x$$:

$$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}\cdot3+7\\\ y=3 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x=2\\\ y=3 \end{cases}$$