# Метод підстановки

Якщо з одного рівняння системи можна виразити одну змінну через іншу (наприклад, $$y = f(x)$$, або навпаки), то після підстановки отриманого виразу в друге рівняння отримана система рівнянь рівносильна вихідній:

$$\begin{cases} F(x, y) = 0,\\\ y = f(x); \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} F(x, f(x)) = 0,\\\ y = f(x). \end{cases}$$

Після цього розв’язуємо рівняння $$F(x, f(x)) = 0$$ з однією змінною $$x$$. Для отримання значень $$y$$ знайдені значення $$x$$ підставляємо у рівняння $$y = f(x)$$.

Цей метод зручно використовувати, коли хоча б одна зі змінних присутня лише в першому степені.

 Приклад

Розв’язати систему рівнянь $$\begin{cases} x + y = 1,\\\ x^2 - y^2 = 2y. \end{cases}$$

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**З першого рівняння виражаємо $$x$$ через $$y$$: $$x + y = 1 \Longleftrightarrow x = 1 - y.$$Підставляємо цей вираз у друге рівняння:$$(1 - y)^2 - y^2 = 2y \Longleftrightarrow 1 - 2y + y^2 - y^2 = 2y \Longleftrightarrow 1 - 2y = 2y \Longleftrightarrow y = \dfrac{1}{4}.$$Отже, $$y\_0 = \dfrac{1}{4}.$$Знаходимо значення $$x\_0$$, підставиши $$y\_0$$ в перше рівняння:$$x\_0 = 1 - y\_0 = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}.$$**Відповідь.** $$\left(\dfrac{3}{4}; \dfrac{1}{4}\right).$$

Розв'язати систему рівнянь: $$\begin{cases} x+y=1\\\ x-y=7 \end{cases}$$ $$(4;-3)$$ $$(4;3)$$ $$(-4;-3)$$ $$(-4;3)$$

Виразимо $$x$$ через $$y$$:

$$\begin{cases} x=1-y\\\ x-y=7 \end{cases}$$

Підставимо у друге рівняння $$x$$ і спростимо систему:

$$\begin{cases} x=1-y\\\ 1-y-y=7 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x=1-y\\\ -2y=6 \end{cases}$$

Помножимо друге рівняння системи на $$-\dfrac{1}{2}$$:

$$\begin{cases} x=1-y\\\ y=-3 \end{cases}$$

Тепер, знаючи значення $$y$$, знайдемо значення $$x$$:

$$\begin{cases} x=1-(-3)\\\ y=-3 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x=4\\\ y=-3 \end{cases}$$

Розв'язати систему рівнянь: $$\begin{cases} 3x+5y=21\\\ 8x-3y=7 \end{cases}$$ $$(2;-3)$$ $$(-2;3)$$ $$(2;3)$$ $$(-2;-3)$$

Перше рівняння помножимо на $$\dfrac{1}{3}$$, і виразимо $$x$$ через $$y$$:

$$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}y+7\\\ 8x-3y=7 \end{cases}$$

Підставимо у друге рівняння $$x$$ і спростимо систему:

$$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}y+7\\\ 8(-\dfrac{5}{3}y+7)-3y=7 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}y+7\\\ -\dfrac{49}{3}y=-49 \end{cases}$$ Помножимо друге рівняння системи на $$-\dfrac{3}{49}$$:

$$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}y+7\\\ y=3 \end{cases}$$

Тепер, знаючи значення $$y$$, знайдемо значення $$x$$:

$$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3}\cdot3+7\\\ y=3 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x=2\\\ y=3 \end{cases}$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/zagaln_vdomost/metod_pdstanovki.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.