Лінійне рiвняння з параметрами
В загальному випадку лінійне рівняння $a\cdot x=b$ теж є рівнянням з параметрами $a$ i $b$.
Це рівняння задає множину лінійних рівнянь (для всіх значень параметрів).
Наприклад: $3x=5; -x=8$.
Насправді це рівняння з параметрами було вже розв’язане в попередній лекції:
  • при $a\neq0$, рівняння має один корінь: $x=\dfrac{b}{a}$;
  • при $a=0,b\neq0$, рівняння не має жодного кореня: $0\cdot x=b$;
  • при $a=0,b=0$, рівняння має безліч коренів: $0\cdot x=0$.
В процесі розв’язання рівняння були розглянуті різні значення параметрів та знайдені для них корені.
Для лінійного рівняння «контрольним» є значення параметра, яке дає нульовий коефіцієнт при змінній (в даному прикладі це $a=0$).
Приклад
Розв’язати рівняння $4x-n=8$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок.Тут нічого складного, «контрольних» значень немає, просто виражаємо $x$:$x=\dfrac{8+n}{4}.$Відповідь. $x=\dfrac{8+n}{4}.$
Приклад
1. Розв’язати рівняння $(m^2-1)\cdot x=8$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок.Знайдемо «контрольні» значення параметра $m$, при яких коефіцієнт при $x$ стане рівним нулеві:$m^2-1=0\Longleftrightarrow m^2=1\Longleftrightarrow m=\pm1.$Розв’яжемо рівняння при $m=-1$:$((-1)^2-1)\cdot x=8\Longleftrightarrow0\cdot x=8\Longleftrightarrow x\in\emptyset.$Розв'яжемо рівняння при $m=1$:$(1^2-1)\cdot x=8\Longleftrightarrow0\cdot x=8\Longleftrightarrow x\in\emptyset.$Розв'яжемо рівняння при $m\neq\pm1$:$(m^2-1)\cdot x=8\Longleftrightarrow x=\dfrac{8}{m^2-1}.$Записуємо відповідь, вказавши всі корені та значення параметрів, за яких ці корені знайдені.Відповідь. при $m=\pm1$, $x\in\emptyset;$при $m\neq\pm1$, $x=\dfrac{8}{m^2-1}.$
2. Розв’язати рівняння $2(5-a)x+a^2=25$.
  • Розв’язок
  • Вiдповiдь
  • Приховати
Розв'язок.
Знайдемо «контрольні» значення параметра $a$, за яких коефіцієнт при $x$ стане рівним нулеві:
$2(5-a)=0\Longleftrightarrow a=5.$
Розв’яжемо рівняння при $a=5$:
$0\cdot x+5^2=25\Longleftrightarrow x\in\mathbb{R}.$
Розв'яжемо рівняння при $a\neq5$:
$2(5-a)x+a^2=25\Longleftrightarrow x=\dfrac{25-a^2}{2(5-a)}.$
Розкладемо чисельник на множники та скоротимо на $(5-a)$, бо $a\neq5$:
$x=\dfrac{(5+a)(5-a)}{2(5-a)}\Longleftrightarrow x=\dfrac{5+a}{2}.$
Записуємо відповідь, вказавши всі корені та значення параметрів, за яких ці корені знайдені.
Відповідь. при $a=5$, $x\in\mathbb{R};$
при $a\neq5$, $x=\dfrac{5+a}{2}.$
Last modified 2yr ago
Copy link