# Лінійне рiвняння з параметрами

В загальному випадку лінійне рівняння $$a\cdot x=b$$ теж є рівнянням з параметрами $$a$$ i $$b$$.

Це рівняння задає множину лінійних рівнянь (для всіх значень параметрів).

Наприклад: $$3x=5; -x=8$$.

Насправді це рівняння з параметрами було вже розв’язане в попередній лекції:

* при $$a\neq0$$, рівняння має один корінь: $$x=\dfrac{b}{a}$$;
* при $$a=0,b\neq0$$, рівняння не має жодного кореня: $$0\cdot x=b$$;
* при $$a=0,b=0$$, рівняння має безліч коренів: $$0\cdot x=0$$.

В процесі розв’язання рівняння були розглянуті різні значення параметрів та знайдені для них корені.

Для лінійного рівняння «**контрольним**» є значення параметра, яке дає **нульовий коефіцієнт при змінній** (в даному прикладі це $$a=0$$).

 Приклад

Розв’язати рівняння $$4x-n=8$$.

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв'язок.**Тут нічого складного, «контрольних» значень немає, просто виражаємо $$x$$:$$x=\dfrac{8+n}{4}.$$**Відповідь.** $$x=\dfrac{8+n}{4}.$$

 Приклад

1\. Розв’язати рівняння $$(m^2-1)\cdot x=8$$.

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв'язок.**Знайдемо «контрольні» значення параметра $$m$$, при яких коефіцієнт при $$x$$ стане рівним нулеві:$$m^2-1=0\Longleftrightarrow m^2=1\Longleftrightarrow m=\pm1.$$Розв’яжемо рівняння при $$m=-1$$:$$((-1)^2-1)\cdot x=8\Longleftrightarrow0\cdot x=8\Longleftrightarrow x\in\emptyset.$$Розв'яжемо рівняння при $$m=1$$:$$(1^2-1)\cdot x=8\Longleftrightarrow0\cdot x=8\Longleftrightarrow x\in\emptyset.$$Розв'яжемо рівняння при $$m\neq\pm1$$:$$(m^2-1)\cdot x=8\Longleftrightarrow x=\dfrac{8}{m^2-1}.$$Записуємо відповідь, вказавши всі корені та значення параметрів, за яких ці корені знайдені.**Відповідь.** при $$m=\pm1$$, $$x\in\emptyset;$$при $$m\neq\pm1$$, $$x=\dfrac{8}{m^2-1}.$$

2\. Розв’язати рівняння $$2(5-a)x+a^2=25$$.

*  
* Розв’язок
*  
* Вiдповiдь
*  
* Приховати

**Розв'язок.**

Знайдемо «контрольні» значення параметра $$a$$, за яких коефіцієнт при $$x$$ стане рівним нулеві:

$$2(5-a)=0\Longleftrightarrow a=5.$$

Розв’яжемо рівняння при $$a=5$$:

$$0\cdot x+5^2=25\Longleftrightarrow x\in\mathbb{R}.$$

Розв'яжемо рівняння при $$a\neq5$$:

$$2(5-a)x+a^2=25\Longleftrightarrow x=\dfrac{25-a^2}{2(5-a)}.$$

Розкладемо чисельник на множники та скоротимо на $$(5-a)$$, бо $$a\neq5$$:

$$x=\dfrac{(5+a)(5-a)}{2(5-a)}\Longleftrightarrow x=\dfrac{5+a}{2}.$$

Записуємо відповідь, вказавши всі корені та значення параметрів, за яких ці корені знайдені.

**Відповідь.** при $$a=5$$, $$x\in\mathbb{R};$$

при $$a\neq5$$, $$x=\dfrac{5+a}{2}.$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/teorema_bezu/rvnyannya_z_parametrami/lnine_rvnyannya_z_parametrami.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.