# Метод алгебраїчного додавання

Якщо замість одного рівняння записати лінійну комбінацію рівнянь (суму рівнянь, кожне з яких помножено на довільне число), а друге залишити незмінним, то отримана система рівнянь буде рівносильна вихідній:

$$\begin{cases} F\_1(x, y) = 0,\\\ F\_2(x, y) = 0; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} a\cdot F\_1(x, y) + b\cdot F\_2(x, y) = 0,\\\ F\_2(x, y) = 0; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} F\_1(x, y) = 0,\\\ c\cdot F\_1(x, y) + d\cdot F\_2(x, y) = 0; \end{cases}$$

де $$a, b, c, d \in \mathbb{R}$$.

Інколи зручно замість обох рівнянь записати різні їхні лінійні комбінації (наприклад, суму та різницю рівнянь).

Після спрощення системи методом алгебраїчного додавання часто також потрібно застосовувати метод підстановки, розглянутий вище.

 Приклад

Розв’язати систему рівнянь $$\begin{cases} 3x + 5y = 7,\\\ x - 6y = 10. \end{cases}$$

 Розв’язок 1 Розв’язок 2 Вiдповiдь Приховати**Перший варіант.**Помножимо друге рівняння системи на $$-3$$ та додамо до нього перше (зверніть увагу: ліву частину додаємо до лівої, а праву — до правої), тоді змінна $$x$$ у другому рівнянні знищиться:$$\begin{cases} 3x + 5y = 7,\\\ x - 6y = 10; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 3x + 5y = 7,\\\ -3x + 18y = -30; \end{cases} \Longleftrightarrow$$$$\Longleftrightarrow \begin{cases} 3x + 5y = 7,\\\ -3x + 18y + 3x + 5y = -30 + 7; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 3x + 5y = 7,\\\ 23y = -23. \end{cases}$$З другого рівняння знаходимо $$y\_0 = -1.$$Підставимо це значення в перше рівняння:$$3x\_0 + 5\cdot(-1) = 7 \Longleftrightarrow x\_0 = 4.$$**Другий варіант.**Помножимо друге рівняння системи на $$-3$$ та додамо до нього перше, і,так само, помножимо перше рівняння на $$\dfrac{6}{5}$$ та додамо до нього друге:$$\begin{cases} 3x + 5y = 7,\\\ x - 6y = 10; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 3x + 5y - 3(x - 6y)= 7 - 3\cdot10,\\\ x - 6y + \dfrac{6}{5}(3x + 5y) = 10 +\dfrac{6}{5}\cdot7. \end{cases}$$Розкривши дужки та звівши подібні доданки, бачимо, що в першому рівнянні зникає змінна $$x$$, а в другому — $$y$$:$$\begin{cases} 3x + 5y - 3x + 18y= -23,\\\ x - 6y + \dfrac{6}{5}(3x + 5y) = 10 +\dfrac{6}{5}\cdot7; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 23y= -23,\\\ \dfrac{23}{5}x = \dfrac{92}{5}; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} y\_0= -1,\\\ x\_0 = 4. \end{cases}$$**Відповідь.** $$(4; -1).$$

Вкажіть множину розв'язків системи рівнянь: $$\begin{cases}x-y=1, \\\ x+y=2. \end{cases}$$ $$\\{\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\\}$$ $$\\{-\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\\}$$ $$\\{\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\\}$$ $$\\{-\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2}\\}$$ Додамо перше і друге рівняння: $$\begin{cases}x-y=1, \\\ 2x=3. \end{cases}$$\
 Звідси знаходимо розв'язок системи рівнянь: $$\begin{cases}y=\dfrac{1}{2}, \\\ x=\dfrac{3}{2}. \end{cases}$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/zagaln_vdomost/metod_algebrachnogo_dodavannya.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.