Математика: арифметика, рівняння та нерівності
  • Зміст
  • Вступне слово
  • Арифметика
    • Прості та складені числа
    • Ознаки подiльностi натуральних чисел
    • Дроби та дiї над ними
    • Модуль числа
  • Пропорції та відсотки
    • Відсотки
    • Розв’язання задач на спiльну виконану роботу (задачi на продуктивнiсть)
  • Одночлени та многочлени
    • Одночлен
    • Многочлен
    • Дiї над многочленами
    • Формули скороченого множення
    • Розкладання многочлена на множники
    • Бiном Ньютона
  • Корiнь та його властивостi
    • Квадратний корiнь та його основнi властивостi
    • Корінь n-го степеня та його основні властивості
    • Ірраціональні вирази
      • Доповнюючий множник
      • Звiльнення вiд iррацiональностi у знаменнику (чисельнику) iррацiонального дробу
      • Доповнюючi множники для основних типiв iррацiональностей у знаменнику (чисельнику)
    • Додаток
  • Показниковi та логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифм
    • Логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифмування та потенцiювання
  • Системи алгебраїчних рiвнянь
    • Метод підстановки
    • Метод алгебраїчного додавання
    • Метод заміни змінної
  • Лiнiйнi та квадратнi рiвняння
    • Лiнiйнi рiвняння
    • Квадратнi рiвняння
      • Неповні квадратні рівняння
      • Повне квадратне рівняння та дискримiнант
      • Факторизація квадратного рівняння (розкладання на множники)
      • Теорема Вiєта
    • Бiквадратнi рiвняння, та рівняння, що зводяться до квадратних
  • Iншi види цiлих рiвнянь
    • Цiлi рацiональнi рiвняння вищих степенів
      • Метод підбору коренів
      • Метод заміни змінної
    • Рiвняння з модулями
      • Метод інтервалів
    • Рівняння з параметрами
      • Лінійне рiвняння з параметрами
      • Квадратне рівняння з параметрами
  • Цілі нерівності
    • Основні властивості
    • Лiнiйнi нерiвностi
    • Система та сукупність нерівностей
    • Нерiвностi з модулями
  • Метод інтервалів
    • Метод інтервалів
    • Дробово-рацiональнi нерiвності
    • Нерiвностi з параметрами
  • Дробово-раціональні рівняння
    • Дробово-раціональне рівняння
    • Раціональні рівняння з параметрами
  • Ірраціональні рівняння
    • Корабель на горизонтi
    • Iррацiональнi рiвняння з квадратним коренем
    • Корабль поза горизонтом
  • Ірраціональні нерівності
    • Метод відокремлення кореня
    • Методологiя розв’язання в залежностi вiд парності/непарностi степеня кореня
    • Метод iнтервалiв для iррацiональних нерiвностей
    • Нерiвностi з параметрами
  • Показникові рівняння
    • Вік Землі та скам’янілостей
    • Показникові рівняння
    • Показникові нерівності
    • Степенево-показникові рівняння
    • Зведення до однiєї основи
      • Показникові рівняння
    • Винесення множника
    • Рiвняння особливих видiв
    • Використання властивостей функцiй (монотонностi)
    • Показниково - степеневi рiвняння
    • Рiвняння з параметрами
    • Системи рівнянь
  • Показникові нерівності
    • Властивостi показникової функцiї та класифікація типiв задач
    • Методи розв’язання окремих типiв задач
    • Степенево - показниковi нерiвностi
  • Логарифмічні рівняння
    • Логарифмiчнi рiвняння
    • Логарифмування та потенцiювання
    • Використання логарифмiчних тотожностей для розв’язання окремих типiв задач
    • Системи рівнянь
  • Логарифмічні нерівності
    • Використання властивостей логарифмiв для розв’язання рiзних типiв задач
    • Замiна змiнної в логарифмiчних нерiвностях
    • Показниково-логарифмiчнi нерiвностi
    • Нерiвностi з параметрами
Powered by GitBook
On this page

Was this helpful?

  1. Системи алгебраїчних рiвнянь

Метод алгебраїчного додавання

Якщо замість одного рівняння записати лінійну комбінацію рівнянь (суму рівнянь, кожне з яких помножено на довільне число), а друге залишити незмінним, то отримана система рівнянь буде рівносильна вихідній:

$$\begin{cases} F_1(x, y) = 0,\\ F_2(x, y) = 0; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} a\cdot F_1(x, y) + b\cdot F_2(x, y) = 0,\\ F_2(x, y) = 0; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} F_1(x, y) = 0,\\ c\cdot F_1(x, y) + d\cdot F_2(x, y) = 0; \end{cases}$$

де $$a, b, c, d \in \mathbb{R}$$.

Інколи зручно замість обох рівнянь записати різні їхні лінійні комбінації (наприклад, суму та різницю рівнянь).

Після спрощення системи методом алгебраїчного додавання часто також потрібно застосовувати метод підстановки, розглянутий вище.

Приклад

Розв’язати систему рівнянь $$\begin{cases} 3x + 5y = 7,\\ x - 6y = 10. \end{cases}$$

Розв’язок 1 Розв’язок 2 Вiдповiдь ПриховатиПерший варіант.Помножимо друге рівняння системи на $$-3$$ та додамо до нього перше (зверніть увагу: ліву частину додаємо до лівої, а праву — до правої), тоді змінна $$x$$ у другому рівнянні знищиться:$$\begin{cases} 3x + 5y = 7,\\ x - 6y = 10; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 3x + 5y = 7,\\ -3x + 18y = -30; \end{cases} \Longleftrightarrow$$$$\Longleftrightarrow \begin{cases} 3x + 5y = 7,\\ -3x + 18y + 3x + 5y = -30 + 7; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 3x + 5y = 7,\\ 23y = -23. \end{cases}$$З другого рівняння знаходимо $$y_0 = -1.$$Підставимо це значення в перше рівняння:$$3x_0 + 5\cdot(-1) = 7 \Longleftrightarrow x_0 = 4.$$Другий варіант.Помножимо друге рівняння системи на $$-3$$ та додамо до нього перше, і,так само, помножимо перше рівняння на $$\dfrac{6}{5}$$ та додамо до нього друге:$$\begin{cases} 3x + 5y = 7,\\ x - 6y = 10; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 3x + 5y - 3(x - 6y)= 7 - 3\cdot10,\\ x - 6y + \dfrac{6}{5}(3x + 5y) = 10 +\dfrac{6}{5}\cdot7. \end{cases}$$Розкривши дужки та звівши подібні доданки, бачимо, що в першому рівнянні зникає змінна $$x$$, а в другому — $$y$$:$$\begin{cases} 3x + 5y - 3x + 18y= -23,\\ x - 6y + \dfrac{6}{5}(3x + 5y) = 10 +\dfrac{6}{5}\cdot7; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 23y= -23,\\ \dfrac{23}{5}x = \dfrac{92}{5}; \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} y_0= -1,\\ x_0 = 4. \end{cases}$$Відповідь. $$(4; -1).$$

Вкажіть множину розв'язків системи рівнянь: $$\begin{cases}x-y=1, \\ x+y=2. \end{cases}$$ $$\{\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\}$$ $$\{-\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\}$$ $$\{\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\}$$ $$\{-\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2}\}$$ Додамо перше і друге рівняння: $$\begin{cases}x-y=1, \\ 2x=3. \end{cases}$$ Звідси знаходимо розв'язок системи рівнянь: $$\begin{cases}y=\dfrac{1}{2}, \\ x=\dfrac{3}{2}. \end{cases}$$

PreviousМетод підстановкиNextМетод заміни змінної

Last updated 6 years ago

Was this helpful?