# Основні властивості

Ці операції можна використовувати для виконання рівносильних переходів, що не змінюють множини розв’язків нерівності:

1. Співвідношення «менше» і «більше» протилежні одне одному.

   Наприклад: якщо $$8 > x$$, то $$x
2. Відношення транзитивності:

   * якщо $$x
   * якщо $$x>a$$ і $$a>b$$, то $$x>b$$.

   Наприклад: якщо $$x
3. Розкрити дужки в будь-якій частині нерівності.

   Наприклад:

   | $$ \begin{align} \color{#1570bd}(x-4\color{#1570bd})\color{#1570bd}(1-x\color{#1570bd}) & \ge 0 \\\ \color{#1570bd}(x-4-x^2+4x\color{#1570bd}) & \ge 0 \\\ -x^2 + 5x -4 & \ge 0 \end{align}$$ | <p>Вихідна нерівність<br>Розкриваємо дужки<br>Спрощуємо</p> |
   | --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ----------------------------------------------------------- |
4. Звести подібні доданки в будь-якій частині нерівності.

   Наприклад:

   | $$ \begin{align} x^3 - 8 & \lt x^2 - 3x -x^2 \\\ x^3 - 8 & \lt \color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 - 3x - \color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 \\\ x^3 - 8 & \lt - 3x \end{align}$$ | <p>Вихідна нерівність<br>Знаходимо подібні доданки<br>Спрощуємо</p> |
   | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------------- |
5. До обох частин додати або ж відняти будь-який вираз.

   Наприклад:

   | $$ \begin{align} \sqrt{x} - x + 3 & \gt 2 \\\ \sqrt{x} - x + 3 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 & \gt 2 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 \\\ \sqrt{x} - x + 1 & \gt 0 \end{align}$$ | <p>Вихідна нерівність<br>Віднімаємо $$2$$ від обох частин<br>Спрощуємо</p> |
   | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | -------------------------------------------------------------------------- |
6. Обидві частини помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля:
   * Якщо вираз додатний – знак нерівності залишається без змін.

     Наприклад:

     | $$ \begin{align} 3x^2 & \gt 2 \\\ \dfrac{3}{\color{#1570bd}3}x^2 & \gt \dfrac{2}{\color{#1570bd}3} \\\ x^2 & \gt \dfrac{2}{3} \end{align}$$ | <p>Вихідна нерівність<br>Ділимо обидві частини на $$3$$<br>Спрощуємо</p> |
     | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------ |
   * Якщо вираз від’ємний – знак нерівності змінюється на протилежний.

     Наприклад:

     | $$ \begin{align} -x^2 - 2 & \gt 1 \\\ (-x^2-2) \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}(\color{#1570bd}-\color{#1570bd}1\color{#1570bd}) & \lt 1 \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}(\color{#1570bd}-\color{#1570bd}1\color{#1570bd}) \\\ x^2 + 2 & \lt -1 \end{align}$$ | <p>Вихідна нерівність<br>Множимо обидві частини на $$-1$$ та змінюємо знак на протилежний<br>Спрощуємо</p> |
     | --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- |

Перехід до якої нерівності буде рівносильним для виразу $$(1+x)(x-3)>2$$? $$2x+5 $$-x^2+2x+5 $$(x-3)>+3$$ $$x^2+2x+5

Перехід до якої нерівності буде рівносильним для виразу $$(x-2)(x+3) $$-x^2-x+6>0$$ $$(x-6) $$x^2+6 $$6-x>x^2$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/zagaln_vdomost_pro_nervnost/osnovn_vlastivost.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.