Основні властивості
Ці операції можна використовувати для виконання рівносильних переходів, що не змінюють множини розв’язків нерівності:
  1. 1.
    Співвідношення «менше» і «більше» протилежні одне одному.
    Наприклад: якщо $8 > x$, то $x
  2. 2.
    Відношення транзитивності:
    • якщо $x
    • якщо $x>a$ і $a>b$, то $x>b$.
    Наприклад: якщо $x
  3. 3.
    Розкрити дужки в будь-якій частині нерівності.
    Наприклад:
    $ \begin{align} \color{#1570bd}(x-4\color{#1570bd})\color{#1570bd}(1-x\color{#1570bd}) & \ge 0 \\ \color{#1570bd}(x-4-x^2+4x\color{#1570bd}) & \ge 0 \\ -x^2 + 5x -4 & \ge 0 \end{align}$
    Вихідна нерівність Розкриваємо дужки Спрощуємо
  4. 4.
    Звести подібні доданки в будь-якій частині нерівності.
    Наприклад:
    $ \begin{align} x^3 - 8 & \lt x^2 - 3x -x^2 \\ x^3 - 8 & \lt \color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 - 3x - \color{#1570bd}x^\color{#1570bd}2 \\ x^3 - 8 & \lt - 3x \end{align}$
    Вихідна нерівність Знаходимо подібні доданки Спрощуємо
  5. 5.
    До обох частин додати або ж відняти будь-який вираз.
    Наприклад:
    $ \begin{align} \sqrt{x} - x + 3 & \gt 2 \\ \sqrt{x} - x + 3 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 & \gt 2 \color{#1570bd}- \color{#1570bd}2 \\ \sqrt{x} - x + 1 & \gt 0 \end{align}$
    Вихідна нерівність Віднімаємо $2$ від обох частин Спрощуємо
  6. 6.
    Обидві частини помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля:
    • Якщо вираз додатний – знак нерівності залишається без змін.
      Наприклад:
      $ \begin{align} 3x^2 & \gt 2 \\ \dfrac{3}{\color{#1570bd}3}x^2 & \gt \dfrac{2}{\color{#1570bd}3} \\ x^2 & \gt \dfrac{2}{3} \end{align}$
      Вихідна нерівність Ділимо обидві частини на $3$ Спрощуємо
    • Якщо вираз від’ємний – знак нерівності змінюється на протилежний.
      Наприклад:
      $ \begin{align} -x^2 - 2 & \gt 1 \\ (-x^2-2) \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}(\color{#1570bd}-\color{#1570bd}1\color{#1570bd}) & \lt 1 \color{#1570bd}\cdot \color{#1570bd}(\color{#1570bd}-\color{#1570bd}1\color{#1570bd}) \\ x^2 + 2 & \lt -1 \end{align}$
      Вихідна нерівність Множимо обидві частини на $-1$ та змінюємо знак на протилежний Спрощуємо
Перехід до якої нерівності буде рівносильним для виразу $(1+x)(x-3)>2$? $2x+5 $-x^2+2x+5 $(x-3)>+3$ $x^2+2x+5
Перехід до якої нерівності буде рівносильним для виразу $(x-2)(x+3) $-x^2-x+6>0$ $(x-6) $x^2+6 $6-x>x^2$
Last modified 2yr ago
Copy link