Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок.Знаходимо множину дільників вільного доданка $-30$ : $\pm1$, $\pm2$, $\pm3$, $\pm5$, $\pm6$, $\pm10$, $\pm15$, $\pm30$.
Перевіряємо, чи є коренями знайдені дільники за схемою Горнера (працюємо завжди з верхнім рядком):$2$$11$$-2$$-41$$-30$$1$$2$$13$$11$$-30$$-60$не є коренем$-1$$2$$9$$-11$$-30$$0$є коренем$2$$2$$15$$28$$15$$0$є коренем$-2$$2$$7$$-16$$-9$$-12$не є коренемІнші дільники перевіряти немає сенсу — вже два корені відомі, тому після ділення отримаємо квадратне рівняння, яке легко розв’язується.Отже, $x_1=-1$ та $x_2=2$ — корені рівняння.Тому далі необхідно розділити многочлен $P(x)$ на $(x+1)(x-2)$.З таблиці вище дістаємо, що частка від ділення многочлена $P(x)=2x^4 + 11x^3 - 2x^2 - 41x - 30$ на $(x + 1)$:$2x^3 + 9x^2 - 11x - 30.$Маємо $P(x)=(x + 1)(2x^3 + 9x^2 - 11x - 30)$. Залишилось розділити на $(x - 2)$.Ділимо многочлен $2x^3 + 9x^2 - 11x - 30$ за схемою Горнера на $(x - 2)$:$2$$9$$-11$$-30$$2$$2$$13$$15$$0$Частка від ділення: $2x^2 + 13x + 15$.Маємо $P(x)=(x + 1)(x - 2)(2x^2 + 13x + 15)$.Розв’яжемо квадратне рівняння $2x^2 + 13x + 15$.Шукаємо дискримінант: $D=(13)^2 - 4\cdot2\cdot15 = 49 > 0$, отже, рівняння має два дійсних корені:$x_3 = \dfrac{-13 + \sqrt{49}}{2\cdot2} = -1,5; x_4 = \dfrac{-13 - \sqrt{49}}{2\cdot2} = -5.$Таким чином всі корені знайдені, а многочлен $P(x)$ можна записати як:$P(x)=(x+1)(x-2)(x+1,5)(x+5).$Відповідь. $\{-5; -1,5; -1; 2\}$.