Метод підбору коренів
Теорема Якщо рівняння з цілими кофіцієнтами $P_n(x) = 0$ має цілі корені ($\mathbb{Z}$-корені), то вони є дільниками вільного доданка $a_n$ цього рівняння.
Доведення
Нехай $x = a$ — цілий корінь рівняння $a_0x^n + a_1x^{n - 1} + a_2x^{n - 2} + \dots + a_{n - 2}x^2 + a_{n - 1}x + a_n = 0, де a_0,a_1,\dots,a_n$ — цілі числа. Тоді виконується рівність:
$a_0a^n + a_1a^{n - 1} + a_2a^{n - 2} + \dots + a_{n - 2}a^2 + a_{n - 1}a + a_n = 0.$
Виразимо вільний доданок $a_n$:
$a_n = -a_0a^n - a_1a^{n - 1} - a_2a^{n - 2} - \dots - a_{n - 2}a^2 - a_{n - 1}a,$
$a_n= -a\cdot(a_0a^{n - 1} + a_1a^{n - 2} + a_2a^{n - 3} + \dots + a_{n - 2}a + a_{n - 1}).$
З останньої рівності випливає, що ціле число $a$ є дільником цілого вільного доданка $a_n$.
Алгоритм Розв'язання рівнянь вищих степенів $P_n(x)=0$
- 1.Знайти множину дільників вільного доданка $a_n$.
- 2.За т. Безу перевірити, чи є коренями дільники $a_n$.
- 3.Якщо знайдений корінь $x = x_1$, розділити за схемою Горнера чи методом кута многочлен $P_n(x)$ на двочлен $x - x_1$. Часткою буде многочлен степеня $n - 1$: $Q_{n - 1}(x)$.
- 4.Шукати корені рівняння $Q_{n-1}(x) = 0$, користуючись п.1-4, які теж є коренями вихідного рівняння (якщо такі є).
Приклад
Розв’язати рівняння $2x^4 + 11x^3 - 2x^2 - 41x - 30 = 0$.
Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв'язок.Знаходимо множину дільників вільного доданка $-30$ : $\pm1$, $\pm2$, $\pm3$, $\pm5$, $\pm6$, $\pm10$, $\pm15$, $\pm30$.
Перевіряємо, чи є коренями знайдені дільники за схемою Горнера (працюємо завжди з верхнім рядком):$2$$11$$-2$$-41$$-30$$1$$2$$13$$11$$-30$$-60$не є коренем$-1$$2$$9$$-11$$-30$$0$є коренем$2$$2$$15$$28$$15$$0$є коренем$-2$$2$$7$$-16$$-9$$-12$не є коренемІнші дільники перевіряти немає сенсу — вже два корені відомі, тому після ділення отримаємо квадратне рівняння, яке легко розв’язується.Отже, $x_1=-1$ та $x_2=2$ — корені рівняння.Тому далі необхідно розділити многочлен $P(x)$ на $(x+1)(x-2)$.З таблиці вище дістаємо, що частка від ділення многочлена $P(x)=2x^4 + 11x^3 - 2x^2 - 41x - 30$ на $(x + 1)$:$2x^3 + 9x^2 - 11x - 30.$Маємо $P(x)=(x + 1)(2x^3 + 9x^2 - 11x - 30)$. Залишилось розділити на $(x - 2)$.Ділимо многочлен $2x^3 + 9x^2 - 11x - 30$ за схемою Горнера на $(x - 2)$:$2$$9$$-11$$-30$$2$$2$$13$$15$$0$Частка від ділення: $2x^2 + 13x + 15$.Маємо $P(x)=(x + 1)(x - 2)(2x^2 + 13x + 15)$.Розв’яжемо квадратне рівняння $2x^2 + 13x + 15$.Шукаємо дискримінант: $D=(13)^2 - 4\cdot2\cdot15 = 49 > 0$, отже, рівняння має два дійсних корені:$x_3 = \dfrac{-13 + \sqrt{49}}{2\cdot2} = -1,5; x_4 = \dfrac{-13 - \sqrt{49}}{2\cdot2} = -5.$Таким чином всі корені знайдені, а многочлен $P(x)$ можна записати як:$P(x)=(x+1)(x-2)(x+1,5)(x+5).$Відповідь. $\{-5; -1,5; -1; 2\}$.
Яке з наведених чисел НЕ МОЖЕ бути коренем рівняння $x^3-6x^2+11x-6$? $0$ $1$ $2$ $3$
Last modified 3yr ago
Copy link