# Метод підбору коренів Теорема Якщо рівняння з цілими кофіцієнтами $$P\_n(x) = 0$$ має цілі корені ($$\mathbb{Z}$$-корені), то вони є дільниками вільного доданка $$a\_n$$ цього рівняння. Доведення Нехай $$x = a$$ — цілий корінь рівняння $$a\_0x^n + a\_1x^{n - 1} + a\_2x^{n - 2} + \dots + a\_{n - 2}x^2 + a\_{n - 1}x + a\_n = 0, де a\_0,a\_1,\dots,a\_n$$ — цілі числа. Тоді виконується рівність: $$a\_0a^n + a\_1a^{n - 1} + a\_2a^{n - 2} + \dots + a\_{n - 2}a^2 + a\_{n - 1}a + a\_n = 0.$$ Виразимо вільний доданок $$a\_n$$: $$a\_n = -a\_0a^n - a\_1a^{n - 1} - a\_2a^{n - 2} - \dots - a\_{n - 2}a^2 - a\_{n - 1}a,$$ $$a\_n= -a\cdot(a\_0a^{n - 1} + a\_1a^{n - 2} + a\_2a^{n - 3} + \dots + a\_{n - 2}a + a\_{n - 1}).$$ З останньої рівності випливає, що ціле число $$a$$ є дільником цілого вільного доданка $$a\_n$$. Алгоритм **Розв'язання рівнянь вищих степенів $$P\_n(x)=0$$** 1. Знайти множину дільників вільного доданка $$a\_n$$. 2. За т. Безу перевірити, чи є коренями дільники $$a\_n$$. 3. Якщо знайдений корінь $$x = x\_1$$, розділити за схемою Горнера чи методом кута многочлен $$P\_n(x)$$ на двочлен $$x - x\_1$$. Часткою буде многочлен степеня $$n - 1$$: $$Q\_{n - 1}(x)$$. 4. Шукати корені рівняння $$Q\_{n-1}(x) = 0$$, користуючись п.1-4, які теж є коренями вихідного рівняння (якщо такі є). Приклад Розв’язати рівняння $$2x^4 + 11x^3 - 2x^2 - 41x - 30 = 0$$. Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв'язок.**Знаходимо множину дільників вільного доданка $$-30$$ : $$\pm1$$, $$\pm2$$, $$\pm3$$, $$\pm5$$, $$\pm6$$, $$\pm10$$, $$\pm15$$, $$\pm30$$.\ Перевіряємо, чи є коренями знайдені дільники за схемою Горнера (працюємо завжди з верхнім рядком):$$2$$$$11$$$$-2$$$$-41$$$$-30$$$$1$$$$2$$$$13$$$$11$$$$-30$$$$-60$$не є коренем$$-1$$$$2$$$$9$$$$-11$$$$-30$$$$0$$є коренем$$2$$$$2$$$$15$$$$28$$$$15$$$$0$$є коренем$$-2$$$$2$$$$7$$$$-16$$$$-9$$$$-12$$не є коренемІнші дільники перевіряти немає сенсу — вже два корені відомі, тому після ділення отримаємо квадратне рівняння, яке легко розв’язується.Отже, $$x\_1=-1$$ та $$x\_2=2$$ — корені рівняння.Тому далі необхідно розділити многочлен $$P(x)$$ на $$(x+1)(x-2)$$.З таблиці вище дістаємо, що частка від ділення многочлена $$P(x)=2x^4 + 11x^3 - 2x^2 - 41x - 30$$ на $$(x + 1)$$:$$2x^3 + 9x^2 - 11x - 30.$$Маємо $$P(x)=(x + 1)(2x^3 + 9x^2 - 11x - 30)$$. Залишилось розділити на $$(x - 2)$$.Ділимо многочлен $$2x^3 + 9x^2 - 11x - 30$$ за схемою Горнера на $$(x - 2)$$:$$2$$$$9$$$$-11$$$$-30$$$$2$$$$2$$$$13$$$$15$$$$0$$Частка від ділення: $$2x^2 + 13x + 15$$.Маємо $$P(x)=(x + 1)(x - 2)(2x^2 + 13x + 15)$$.Розв’яжемо квадратне рівняння $$2x^2 + 13x + 15$$.Шукаємо дискримінант: $$D=(13)^2 - 4\cdot2\cdot15 = 49 > 0$$, отже, рівняння має два дійсних корені:$$x\_3 = \dfrac{-13 + \sqrt{49}}{2\cdot2} = -1,5; x\_4 = \dfrac{-13 - \sqrt{49}}{2\cdot2} = -5.$$Таким чином всі корені знайдені, а многочлен $$P(x)$$ можна записати як:$$P(x)=(x+1)(x-2)(x+1,5)(x+5).$$**Відповідь.** $$\\{-5; -1,5; -1; 2\\}$$. Яке з наведених чисел НЕ МОЖЕ бути коренем рівняння $$x^3-6x^2+11x-6$$? $$0$$ $$1$$ $$2$$ $$3$$ --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://math.ed-era.com/teorema_bezu/tsili_ratsionalni_rivnyannya_vischih_stepenv/metod_pdboru_korenv.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.