# Логарифмiчнi тотожностi

В наведених далі співвідношеннях **основа логарифма вважається додатною та нерівною** $$1: a>0, a\neq1$$.

Основні логарифмічні тотожності:

1. $$a^{\log\_{a}b}=b$$.
2. $$\log\_{a}1=0$$.
3. $$\log\_{a}a=1$$.
4. $$\log\_{a}{a^b}=b$$.
5. $$\log\_{a}{xy}=\log\_{a}{|x|}+\log\_{a}{|y|}, xy>0$$.

   Наприклад: $$\log\_{3}54=\log\_{3}{2\cdot27}=\log\_{3}2+\log\_{3}27=\log\_{3}2+\log\_{3}{3^3}=\log\_{3}2+3.$$
6. $$\log\_{a}{\dfrac{x}{y}}=\log\_{a}{|x|}-\log\_{a}{|y|}, xy>0$$.

   Наприклад: $$\log\_{2}{\dfrac{16}{9}}=\log\_{2}16-\log\_{2}9=\log\_{2}{2^4}-\log\_{2}{9}=4-\log\_{2}{9}.$$
7. $$\log\_{a}{x^p}=p\cdot\log\_{a}{|x|}, x^p>0$$.

   Наприклад: $$\log\_{5}64=\log\_{5}{2^6}=6\log\_{5}2.$$
8. $$\log\_{a^q}x=\dfrac{1}{q}\log\_{a}x, q\neq0$$.

   Наприклад: $$\log\_{9}23=\log\_{3^2}23=\dfrac{1}{2}\log\_{3}23.$$
9. $$\log\_{a^q}{x^p}=\dfrac{p}{q}\log\_{a}x, q\neq0$$ — випливає з формул ($$7$$) та ($$8$$).

   Наприклад: $$\log\_{16}125=\log\_{2^4}{5^3}=\dfrac{3}{4}\log\_{2}5.$$
10. $$\log\_{a}x=\dfrac{\log\_{b}x}{\log\_{b}a}$$ - формула переходу до іншої основи.

    Наприклад: $$\log\_{2}27=\dfrac{\log\_{3}27}{\log\_{3}2}=\dfrac{\log\_{3}{3^3}}{\log\_{3}2}=\dfrac{3}{\log\_{3}2}.$$
11. $$\log\_{a}b=\dfrac{1}{\log\_{b}a}$$ — випливає з формули ($$10$$).
12. $$a^{\log\_{c}b}=b^{\log\_{c}a}$$ — випливає з формули ($$7$$).


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://math.ed-era.com/pokaznikovi_totozhnosti/logarifmichni_totozhnosti.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.