# Логарифмiчнi тотожностi

В наведених далі співвідношеннях **основа логарифма вважається додатною та нерівною** $$1: a>0, a\neq1$$.

Основні логарифмічні тотожності:

1. $$a^{\log\_{a}b}=b$$.
2. $$\log\_{a}1=0$$.
3. $$\log\_{a}a=1$$.
4. $$\log\_{a}{a^b}=b$$.
5. $$\log\_{a}{xy}=\log\_{a}{|x|}+\log\_{a}{|y|}, xy>0$$.

   Наприклад: $$\log\_{3}54=\log\_{3}{2\cdot27}=\log\_{3}2+\log\_{3}27=\log\_{3}2+\log\_{3}{3^3}=\log\_{3}2+3.$$
6. $$\log\_{a}{\dfrac{x}{y}}=\log\_{a}{|x|}-\log\_{a}{|y|}, xy>0$$.

   Наприклад: $$\log\_{2}{\dfrac{16}{9}}=\log\_{2}16-\log\_{2}9=\log\_{2}{2^4}-\log\_{2}{9}=4-\log\_{2}{9}.$$
7. $$\log\_{a}{x^p}=p\cdot\log\_{a}{|x|}, x^p>0$$.

   Наприклад: $$\log\_{5}64=\log\_{5}{2^6}=6\log\_{5}2.$$
8. $$\log\_{a^q}x=\dfrac{1}{q}\log\_{a}x, q\neq0$$.

   Наприклад: $$\log\_{9}23=\log\_{3^2}23=\dfrac{1}{2}\log\_{3}23.$$
9. $$\log\_{a^q}{x^p}=\dfrac{p}{q}\log\_{a}x, q\neq0$$ — випливає з формул ($$7$$) та ($$8$$).

   Наприклад: $$\log\_{16}125=\log\_{2^4}{5^3}=\dfrac{3}{4}\log\_{2}5.$$
10. $$\log\_{a}x=\dfrac{\log\_{b}x}{\log\_{b}a}$$ - формула переходу до іншої основи.

    Наприклад: $$\log\_{2}27=\dfrac{\log\_{3}27}{\log\_{3}2}=\dfrac{\log\_{3}{3^3}}{\log\_{3}2}=\dfrac{3}{\log\_{3}2}.$$
11. $$\log\_{a}b=\dfrac{1}{\log\_{b}a}$$ — випливає з формули ($$10$$).
12. $$a^{\log\_{c}b}=b^{\log\_{c}a}$$ — випливає з формули ($$7$$).