Математика: арифметика, рівняння та нерівності
  • Зміст
  • Вступне слово
  • Арифметика
    • Прості та складені числа
    • Ознаки подiльностi натуральних чисел
    • Дроби та дiї над ними
    • Модуль числа
  • Пропорції та відсотки
    • Відсотки
    • Розв’язання задач на спiльну виконану роботу (задачi на продуктивнiсть)
  • Одночлени та многочлени
    • Одночлен
    • Многочлен
    • Дiї над многочленами
    • Формули скороченого множення
    • Розкладання многочлена на множники
    • Бiном Ньютона
  • Корiнь та його властивостi
    • Квадратний корiнь та його основнi властивостi
    • Корінь n-го степеня та його основні властивості
    • Ірраціональні вирази
      • Доповнюючий множник
      • Звiльнення вiд iррацiональностi у знаменнику (чисельнику) iррацiонального дробу
      • Доповнюючi множники для основних типiв iррацiональностей у знаменнику (чисельнику)
    • Додаток
  • Показниковi та логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифм
    • Логарифмiчнi тотожностi
    • Логарифмування та потенцiювання
  • Системи алгебраїчних рiвнянь
    • Метод підстановки
    • Метод алгебраїчного додавання
    • Метод заміни змінної
  • Лiнiйнi та квадратнi рiвняння
    • Лiнiйнi рiвняння
    • Квадратнi рiвняння
      • Неповні квадратні рівняння
      • Повне квадратне рівняння та дискримiнант
      • Факторизація квадратного рівняння (розкладання на множники)
      • Теорема Вiєта
    • Бiквадратнi рiвняння, та рівняння, що зводяться до квадратних
  • Iншi види цiлих рiвнянь
    • Цiлi рацiональнi рiвняння вищих степенів
      • Метод підбору коренів
      • Метод заміни змінної
    • Рiвняння з модулями
      • Метод інтервалів
    • Рівняння з параметрами
      • Лінійне рiвняння з параметрами
      • Квадратне рівняння з параметрами
  • Цілі нерівності
    • Основні властивості
    • Лiнiйнi нерiвностi
    • Система та сукупність нерівностей
    • Нерiвностi з модулями
  • Метод інтервалів
    • Метод інтервалів
    • Дробово-рацiональнi нерiвності
    • Нерiвностi з параметрами
  • Дробово-раціональні рівняння
    • Дробово-раціональне рівняння
    • Раціональні рівняння з параметрами
  • Ірраціональні рівняння
    • Корабель на горизонтi
    • Iррацiональнi рiвняння з квадратним коренем
    • Корабль поза горизонтом
  • Ірраціональні нерівності
    • Метод відокремлення кореня
    • Методологiя розв’язання в залежностi вiд парності/непарностi степеня кореня
    • Метод iнтервалiв для iррацiональних нерiвностей
    • Нерiвностi з параметрами
  • Показникові рівняння
    • Вік Землі та скам’янілостей
    • Показникові рівняння
    • Показникові нерівності
    • Степенево-показникові рівняння
    • Зведення до однiєї основи
      • Показникові рівняння
    • Винесення множника
    • Рiвняння особливих видiв
    • Використання властивостей функцiй (монотонностi)
    • Показниково - степеневi рiвняння
    • Рiвняння з параметрами
    • Системи рівнянь
  • Показникові нерівності
    • Властивостi показникової функцiї та класифікація типiв задач
    • Методи розв’язання окремих типiв задач
    • Степенево - показниковi нерiвностi
  • Логарифмічні рівняння
    • Логарифмiчнi рiвняння
    • Логарифмування та потенцiювання
    • Використання логарифмiчних тотожностей для розв’язання окремих типiв задач
    • Системи рівнянь
  • Логарифмічні нерівності
    • Використання властивостей логарифмiв для розв’язання рiзних типiв задач
    • Замiна змiнної в логарифмiчних нерiвностях
    • Показниково-логарифмiчнi нерiвностi
    • Нерiвностi з параметрами
Powered by GitBook
On this page

Was this helpful?

  1. Показниковi та логарифмiчнi тотожностi

Логарифмiчнi тотожностi

В наведених далі співвідношеннях основа логарифма вважається додатною та нерівною $$1: a>0, a\neq1$$.

Основні логарифмічні тотожності:

  1. $$a^{\log_{a}b}=b$$.

  2. $$\log_{a}1=0$$.

  3. $$\log_{a}a=1$$.

  4. $$\log_{a}{a^b}=b$$.

  5. $$\log_{a}{xy}=\log_{a}{|x|}+\log_{a}{|y|}, xy>0$$.

    Наприклад: $$\log_{3}54=\log_{3}{2\cdot27}=\log_{3}2+\log_{3}27=\log_{3}2+\log_{3}{3^3}=\log_{3}2+3.$$

  6. $$\log_{a}{\dfrac{x}{y}}=\log_{a}{|x|}-\log_{a}{|y|}, xy>0$$.

    Наприклад: $$\log_{2}{\dfrac{16}{9}}=\log_{2}16-\log_{2}9=\log_{2}{2^4}-\log_{2}{9}=4-\log_{2}{9}.$$

  7. $$\log_{a}{x^p}=p\cdot\log_{a}{|x|}, x^p>0$$.

    Наприклад: $$\log_{5}64=\log_{5}{2^6}=6\log_{5}2.$$

  8. $$\log_{a^q}x=\dfrac{1}{q}\log_{a}x, q\neq0$$.

    Наприклад: $$\log_{9}23=\log_{3^2}23=\dfrac{1}{2}\log_{3}23.$$

  9. $$\log_{a^q}{x^p}=\dfrac{p}{q}\log_{a}x, q\neq0$$ — випливає з формул ($$7$$) та ($$8$$).

    Наприклад: $$\log_{16}125=\log_{2^4}{5^3}=\dfrac{3}{4}\log_{2}5.$$

  10. $$\log_{a}x=\dfrac{\log_{b}x}{\log_{b}a}$$ - формула переходу до іншої основи.

    Наприклад: $$\log_{2}27=\dfrac{\log_{3}27}{\log_{3}2}=\dfrac{\log_{3}{3^3}}{\log_{3}2}=\dfrac{3}{\log_{3}2}.$$

  11. $$\log_{a}b=\dfrac{1}{\log_{b}a}$$ — випливає з формули ($$10$$).

  12. $$a^{\log_{c}b}=b^{\log_{c}a}$$ — випливає з формули ($$7$$).

PreviousЛогарифмNextЛогарифмування та потенцiювання

Last updated 6 years ago

Was this helpful?