Логарифмiчнi тотожностi
В наведених далі співвідношеннях основа логарифма вважається додатною та нерівною $1: a>0, a\neq1$.
Основні логарифмічні тотожності:
  1. 1.
    $a^{\log_{a}b}=b$.
  2. 2.
    $\log_{a}1=0$.
  3. 3.
    $\log_{a}a=1$.
  4. 4.
    $\log_{a}{a^b}=b$.
  5. 5.
    $\log_{a}{xy}=\log_{a}{|x|}+\log_{a}{|y|}, xy>0$.
    Наприклад: $\log_{3}54=\log_{3}{2\cdot27}=\log_{3}2+\log_{3}27=\log_{3}2+\log_{3}{3^3}=\log_{3}2+3.$
  6. 6.
    $\log_{a}{\dfrac{x}{y}}=\log_{a}{|x|}-\log_{a}{|y|}, xy>0$.
    Наприклад: $\log_{2}{\dfrac{16}{9}}=\log_{2}16-\log_{2}9=\log_{2}{2^4}-\log_{2}{9}=4-\log_{2}{9}.$
  7. 7.
    $\log_{a}{x^p}=p\cdot\log_{a}{|x|}, x^p>0$.
    Наприклад: $\log_{5}64=\log_{5}{2^6}=6\log_{5}2.$
  8. 8.
    $\log_{a^q}x=\dfrac{1}{q}\log_{a}x, q\neq0$.
    Наприклад: $\log_{9}23=\log_{3^2}23=\dfrac{1}{2}\log_{3}23.$
  9. 9.
    $\log_{a^q}{x^p}=\dfrac{p}{q}\log_{a}x, q\neq0$ — випливає з формул ($7$) та ($8$).
    Наприклад: $\log_{16}125=\log_{2^4}{5^3}=\dfrac{3}{4}\log_{2}5.$
  10. 10.
    $\log_{a}x=\dfrac{\log_{b}x}{\log_{b}a}$ - формула переходу до іншої основи.
    Наприклад: $\log_{2}27=\dfrac{\log_{3}27}{\log_{3}2}=\dfrac{\log_{3}{3^3}}{\log_{3}2}=\dfrac{3}{\log_{3}2}.$
  11. 11.
    $\log_{a}b=\dfrac{1}{\log_{b}a}$ — випливає з формули ($10$).
  12. 12.
    $a^{\log_{c}b}=b^{\log_{c}a}$ — випливає з формули ($7$).
Last modified 2yr ago
Copy link