> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://math.ed-era.com/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://math.ed-era.com/zagaln_vdomost_pro_nervnost/sistema_ta_sukupnst_nervnostei.md).

# Система та сукупність нерівностей

Розглянемо таку життєву ситуацію. Михайло вчиться на соціолога. Нещодавно він провів опитування сімейних пар на вулицях Києва. Він поставив два питання: «Чи маєте Ви хлопчика?» та «Чи маєте Ви дівчинку?». Загалом було $$100$$ сімейних пар. Результати можна представити у вигляді такої діаграми:

З діаграми випливає, що $$72$$ пари має хлопчиків **або** дівчаток. Крім того, $$21$$ пара мають хлопчиків **і** дівчаток одночасно. Слова «**або**» та «**і**» тут вжиті не випадково, вони представляють логічні операції об’єднання та перетину множин «пара має хлопчиків» та «пара має дівчат».

Аналогічно, при розв’язанні нерівностей часто потрібно користуватись **операціями об’єднання та перетину** інтервалів.

 Алгоритм **Об’єднання та перетин інтервалів**

1. Зобразити інтервали на числовій прямій.
2. Для знаходження **об’єднання** потрібно взяти ті частини прямої, що належать **хоча б одному інтервалу**. Об’єднання, як і в теорії множин, позначається значком $$\cup$$.
3. Для знаходження **перетину** потрібно взяти ті частини прямої, що належать **обом інтервалам одночасно**. Перетин, як і в теорії множин, позначається значком $$\cap$$.

 Приклад **Знайти об’єднання та перетин інтервалів $$\[1;7]$$ і $$(5;9)$$.**

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Зобразимо інтервали на числовій прямій:![](/files/-LWNRRYWiq4W44AkFXrS)![](/files/-LWNRRYYjl1QF15lhSsu)Для знаходження об’єднання потрібно взяти ті частини прямої, які належать першому **або** другому (хоча б одному) інтервалам.![](/files/-LWNRRY_J2EPv2LCkcnq)Отже, $$\[1;7] \cup (5;9) = \[1;9)$$.Для знаходження перетину потрібно взяти ті частини прямої, які належать першому **i** другому (обом одночасно) інтервалам.![](/files/-LWNRRYbZnlFILw3c_3S)Отже, $$\[1;7] \cap (5;9) = (5;7]$$.**Вiдповiдь.** $$\[1;9), (5;7].$$

 Приклад **Знайти значення змінної $$x$$, якщо вона повинна задовольняти умови: $$\begin{eqnarray}\dfrac{x}{2} - 1 > 0 & або & -\dfrac{1}{4}(x+1) > 0 \nonumber \end{eqnarray}$$**

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Розв’яжемо окремо два рівняння з умови, а потім знайдемо об’єднання (**або**) отриманих розв’язків.$$\begin{eqnarray} \dfrac{x}{2} - 1 > 0 & або & -\dfrac{1}{4}(x+1) > 0 \nonumber \\\ \dfrac{x}{2} > 1 & & x + 1 2 & & xОтже, маємо такі умови для змінної: $$x>2$$ або $$xЗобразимо ці розв’язки на числовій прямій та знайдемо їхнє об’єднання:![](/files/-LWNRRYdHceGDhNW2R8K)![](/files/-LWNRRYfCvnvRJC7EucA)![](/files/-LWNRRYh9Gspq8m_0unk)Отже, значення змінної $$x$$ повинно лежати у межах $$(-\infty,-1) \cup (2,\infty)$$ щоб задовольнити умови.**Вiдповiдь.** $$(-\infty,-1) \cup (2,\infty).$$

 Приклад **Знайти значення змінної $$x$$, якщо вона повинна задовольняти умови:** $$\begin{eqnarray} -3(x-5)\leq 6 & i & x-2

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Розв’яжемо окремо два рівняння з умови, а потім знайдемо перетин (**i**) отриманих розв’язків.$$\begin{eqnarray} -3(x-5)\leq 6 & i & x-2Отже, маємо такі умови для змінної: $$x\geq3$$ або $$xІншим чином це запишемо так: $$3\leq xЗобразимо ці розв’язки на числовій прямій та знайдемо їхнє об’єднання:![](/files/-LWNRRYjsHHkFyB277BQ)![](/files/-LWNRRYltmUS9aTnbXnX)![](/files/-LWNRRYn_7PDWlR0HVsV)Отже, значення змінної $$x$$ повинно лежати в межах $$\[3,7)$$, щоб задовольнити умови.**Вiдповiдь.** $$\[3,7).$$

 Скорочений запис перетину нерівностей

Якщо $$a$$aто це можна записати у скороченій формі як$$a

Всі операції в такому записі проводять одночасно над всіма трьома сторонами нерівності. Під час розв’язання метою є **залишити змінну $$x$$ «на самоті» в центральній частині** нерівності.

Насправді, ми вже навчились розв’язувати найпростіші системи та сукупності нерівностей.

 Система нерівностей

Якщо між двома нерівностями стоїть слово «**і**» — тобто мається на увазі **перетин розв’язків нерівностей** – це значить, що змінна повинна **задовольнити обидві нерівності** одночасно. Перед нами ніщо інше, як **система нерівностей**. Такі нерівності записують одна під іншою з **великою фігурною дужкою зліва**. Умова попереднього прикладу тоді виглядатиме як:

$$-3(x-5)\leq 6 \quad i \quad x-2спростивши, маємо:$$ x \geq 3 \quad i \quad x

 Сукупність нерівностей

Якщо між двома нерівностями стоїть слово «**або**» - тобто мається на увазі **об’єднання розв’язків нерівностей** – це значить, що змінна повинна **задовольнити хоча б одну з нерівностей**. Таке об’єднання називається сукупністю нерівностей. В цьому випадку нерівності записуються одна під іншою з **великою квадратною скобкою зліва**. Умова попереднього прикладу тоді виглядатиме як:

$$ \dfrac{x}{2} - 1 > 0 \quad або \quad -\dfrac{1}{4}(x+1) > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \left\[\begin{gathered} \hspace{-0.25cm}\dfrac{x}{2} - 1 > 0,\\\ -\dfrac{1}{4}(x+1) > 0. \end{gathered}\right. $$

спростивши, маємо:

$$ x > 2 \quad або \quad x2,\\\ x

Системи і сукупності нерівностей дуже просто та наочно розв’язують за допомогою інтервального представлення розв’язків.

Надалі ми будемо користуватись поняттями системи і сукупності нерівностей для розв’язання нерівностей з модулями.

 Приклад **Розв’язати систему нерівностей: $$\begin{cases} 5x+2(1-x) \geq x+5,\\\ \dfrac{x}{2}+5>-2(5+x). \end{cases}$$**

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Розв’язуємо кожну з нерівностей окремо: $$\begin{eqnarray} 5x+2(1-x) &\geq& x+5 \nonumber\\\ 5x+2-2x &\geq& x+5 \nonumber\\\ 2x &\geq& 3 \nonumber\\\ x &\geq& \dfrac{3}{2} \nonumber \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \dfrac{x}{2}+5 &>& -2(5+x)\nonumber\\\ \dfrac{x}{2}+5 &>& -10-2x\nonumber\\\ \dfrac{5x}{2} &>& -15\nonumber\\\ x &>& -6\nonumber \end{eqnarray}$$Залишилося зобразити розв’язки на числовій прямій та знайти їхній перетин.![](/files/-LWNRRYpX00uJTjE3CoD)**Вiдповiдь.** $$x \in \left\[\dfrac{3}{2};\infty\right).$$

 Приклад **Розв’язати сукупність нерівностей: $$\left\[\begin{gathered} x+2\leq8-3(x+1),\\\ 5x-2>1-x. \end{gathered}\right.$$**

 Розв’язок Вiдповiдь Приховати**Розв’язок.**Розв’язуємо кожну з нерівностей окремо: $$\begin{eqnarray} x+2 &\leq& 8-3(x+1) \nonumber\\\ x+2 &\leq& 8-3x-3 \nonumber\\\ 4x &\leq& 3 \nonumber\\\ x &\leq& \dfrac{3}{4} \nonumber \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} 5x-2 &>& 1-x\nonumber\\\ 6x &>& 3\nonumber\\\ x &>& \dfrac{1}{2}\nonumber \end{eqnarray}$$Залишилося зобразити розв’язки на числовій прямій та знайти їхнє об'єднання.![](/files/-LWNRRYrqWymJglYqJJY)![](/files/-LWNRRYtyWg-E1PCwgmb)![](/files/-LWNRRYvUgDfsks2cBUz)**Вiдповiдь.** $$x \in \mathbb{R}.$$

Розв'язати систему нерівностей: $$\begin{cases} 4x-6(x-1)4 \end{cases}$$ $$x>\dfrac{9}{4}$$ $$x>2$$ $$x $$x

Спростимо систему нерівностей:

$$\begin{cases} 4x-6x-64 \end{cases}$$

$$\begin{cases} -4x10 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x>\dfrac{9}{4}\\\ x>2 \end{cases}$$

Спільний інтервал для цих двох нерівностей:

$$x>\dfrac{9}{4}$$

Розв'язати систему нерівностей: $$\begin{cases} x1+x-3(4x-1) \end{cases}$$ $$x \in \[0;1]$$ $$x \in (0;-1)$$ $$x >0$$ $$x \in (0;1)$$

Спростимо систему нерівностей:

$$\begin{cases} x1+x-12x+3 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x0 \end{cases}$$

Спільний інтервал для цих двох нерівностей:

$$x \in (0;1)$$