Система та сукупність нерівностей

Розглянемо таку життєву ситуацію. Михайло вчиться на соціолога. Нещодавно він провів опитування сімейних пар на вулицях Києва. Він поставив два питання: «Чи маєте Ви хлопчика?» та «Чи маєте Ви дівчинку?». Загалом було $$100$$ сімейних пар. Результати можна представити у вигляді такої діаграми:

З діаграми випливає, що $$72$$ пари має хлопчиків або дівчаток. Крім того, $$21$$ пара мають хлопчиків і дівчаток одночасно. Слова «або» та «і» тут вжиті не випадково, вони представляють логічні операції об’єднання та перетину множин «пара має хлопчиків» та «пара має дівчат».

Аналогічно, при розв’язанні нерівностей часто потрібно користуватись операціями об’єднання та перетину інтервалів.

Алгоритм Об’єднання та перетин інтервалів

1. Зобразити інтервали на числовій прямій.

2. Для знаходження об’єднання потрібно взяти ті частини прямої, що належать хоча б одному інтервалу. Об’єднання, як і в теорії множин, позначається значком $$\cup$$.

3. Для знаходження перетину потрібно взяти ті частини прямої, що належать обом інтервалам одночасно. Перетин, як і в теорії множин, позначається значком $$\cap$$.

Приклад Знайти об’єднання та перетин інтервалів $$[1;7]$$ і $$(5;9)$$.

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Зобразимо інтервали на числовій прямій:Для знаходження об’єднання потрібно взяти ті частини прямої, які належать першому або другому (хоча б одному) інтервалам.Отже, $$[1;7] \cup (5;9) = [1;9)$$.Для знаходження перетину потрібно взяти ті частини прямої, які належать першому i другому (обом одночасно) інтервалам.Отже, $$[1;7] \cap (5;9) = (5;7]$$.Вiдповiдь. $$[1;9), (5;7].$$

Приклад Знайти значення змінної $$x$$, якщо вона повинна задовольняти умови: $$\begin{eqnarray}\dfrac{x}{2} - 1 > 0 & або & -\dfrac{1}{4}(x+1) > 0 \nonumber \end{eqnarray}$$

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Розв’яжемо окремо два рівняння з умови, а потім знайдемо об’єднання (або) отриманих розв’язків.$$\begin{eqnarray} \dfrac{x}{2} - 1 > 0 & або & -\dfrac{1}{4}(x+1) > 0 \nonumber \\ \dfrac{x}{2} > 1 & & x + 1 2 & & xОтже, маємо такі умови для змінної: $$x>2$$ або $$xЗобразимо ці розв’язки на числовій прямій та знайдемо їхнє об’єднання:Отже, значення змінної $$x$$ повинно лежати у межах $$(-\infty,-1) \cup (2,\infty)$$ щоб задовольнити умови.Вiдповiдь. $$(-\infty,-1) \cup (2,\infty).$$

Приклад Знайти значення змінної $$x$$, якщо вона повинна задовольняти умови: $$\begin{eqnarray} -3(x-5)\leq 6 & i & x-2

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Розв’яжемо окремо два рівняння з умови, а потім знайдемо перетин (i) отриманих розв’язків.$$\begin{eqnarray} -3(x-5)\leq 6 & i & x-2Отже, маємо такі умови для змінної: $$x\geq3$$ або $$xІншим чином це запишемо так: $$3\leq xЗобразимо ці розв’язки на числовій прямій та знайдемо їхнє об’єднання:Отже, значення змінної $$x$$ повинно лежати в межах $$[3,7)$$, щоб задовольнити умови.Вiдповiдь. $$[3,7).$$

Скорочений запис перетину нерівностей

Якщо $$a$$aто це можна записати у скороченій формі як$$a

Всі операції в такому записі проводять одночасно над всіма трьома сторонами нерівності. Під час розв’язання метою є залишити змінну $$x$$ «на самоті» в центральній частині нерівності.

Насправді, ми вже навчились розв’язувати найпростіші системи та сукупності нерівностей.

Система нерівностей

Якщо між двома нерівностями стоїть слово «і» — тобто мається на увазі перетин розв’язків нерівностей – це значить, що змінна повинна задовольнити обидві нерівності одночасно. Перед нами ніщо інше, як система нерівностей. Такі нерівності записують одна під іншою з великою фігурною дужкою зліва. Умова попереднього прикладу тоді виглядатиме як:

$$-3(x-5)\leq 6 \quad i \quad x-2спростивши, маємо:$$ x \geq 3 \quad i \quad x

Сукупність нерівностей

Якщо між двома нерівностями стоїть слово «або» - тобто мається на увазі об’єднання розв’язків нерівностей – це значить, що змінна повинна задовольнити хоча б одну з нерівностей. Таке об’єднання називається сукупністю нерівностей. В цьому випадку нерівності записуються одна під іншою з великою квадратною скобкою зліва. Умова попереднього прикладу тоді виглядатиме як:

$$ \dfrac{x}{2} - 1 > 0 \quad або \quad -\dfrac{1}{4}(x+1) > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \left[\begin{gathered} \hspace{-0.25cm}\dfrac{x}{2} - 1 > 0,\\ -\dfrac{1}{4}(x+1) > 0. \end{gathered}\right. $$

спростивши, маємо:

$$ x > 2 \quad або \quad x2,\\ x

Системи і сукупності нерівностей дуже просто та наочно розв’язують за допомогою інтервального представлення розв’язків.

Надалі ми будемо користуватись поняттями системи і сукупності нерівностей для розв’язання нерівностей з модулями.

Приклад Розв’язати систему нерівностей: $$\begin{cases} 5x+2(1-x) \geq x+5,\\ \dfrac{x}{2}+5>-2(5+x). \end{cases}$$

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Розв’язуємо кожну з нерівностей окремо: $$\begin{eqnarray} 5x+2(1-x) &\geq& x+5 \nonumber\\ 5x+2-2x &\geq& x+5 \nonumber\\ 2x &\geq& 3 \nonumber\\ x &\geq& \dfrac{3}{2} \nonumber \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \dfrac{x}{2}+5 &>& -2(5+x)\nonumber\\ \dfrac{x}{2}+5 &>& -10-2x\nonumber\\ \dfrac{5x}{2} &>& -15\nonumber\\ x &>& -6\nonumber \end{eqnarray}$$Залишилося зобразити розв’язки на числовій прямій та знайти їхній перетин.Вiдповiдь. $$x \in \left[\dfrac{3}{2};\infty\right).$$

Приклад Розв’язати сукупність нерівностей: $$\left[\begin{gathered} x+2\leq8-3(x+1),\\ 5x-2>1-x. \end{gathered}\right.$$

Розв’язок Вiдповiдь ПриховатиРозв’язок.Розв’язуємо кожну з нерівностей окремо: $$\begin{eqnarray} x+2 &\leq& 8-3(x+1) \nonumber\\ x+2 &\leq& 8-3x-3 \nonumber\\ 4x &\leq& 3 \nonumber\\ x &\leq& \dfrac{3}{4} \nonumber \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} 5x-2 &>& 1-x\nonumber\\ 6x &>& 3\nonumber\\ x &>& \dfrac{1}{2}\nonumber \end{eqnarray}$$Залишилося зобразити розв’язки на числовій прямій та знайти їхнє об'єднання.Вiдповiдь. $$x \in \mathbb{R}.$$

Розв'язати систему нерівностей: $$\begin{cases} 4x-6(x-1)4 \end{cases}$$ $$x>\dfrac{9}{4}$$ $$x>2$$ $$x $$x

Спростимо систему нерівностей:

$$\begin{cases} 4x-6x-64 \end{cases}$$

$$\begin{cases} -4x10 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x>\dfrac{9}{4}\\ x>2 \end{cases}$$

Спільний інтервал для цих двох нерівностей:

$$x>\dfrac{9}{4}$$

Розв'язати систему нерівностей: $$\begin{cases} x1+x-3(4x-1) \end{cases}$$ $$x \in [0;1]$$ $$x \in (0;-1)$$ $$x >0$$ $$x \in (0;1)$$

Спростимо систему нерівностей:

$$\begin{cases} x1+x-12x+3 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x0 \end{cases}$$

Спільний інтервал для цих двох нерівностей:

$$x \in (0;1)$$