Повне квадратне рівняння та дискримiнант

Скористаємось процедурою виділення повного квадрата з тричлена, яку ви можете знайти у розділі Розкладання многочлена на множники:

Перед цим домножимо повне квадратне рівняння на :

Представляємо перший доданок у вигляді квадрата деякого виразу :

Отже, вираз .

Другий доданок переписуємо так, щоб він мав вигляд :

Звідки вираз .

Додаємо та віднімаємо :

Виділяємо повний квадрат з отриманого виразу:

Для зручності позначимо . Тоді тотожність матиме вигляд:

Можливі три випадки: та . Розглянемо їх окремо.

  1. . В такому випадку з можна добути корінь: .
  2. Тоді після заміни та застосування формули різниці квадратів маємо рівняння:

    За однією з властивостей рівносильних перетворень добуток множників рівний нулеві, якщо хоча б один з множників рівний нулеві. Тоді отримуємо:

    Таким чином, при рівняння має два корені, що відрізняються лише знаком при . Коротко їх записують у такий спосіб:

  3. . В такому випадку маємо .
  4. Цей корінь можна також отримати і з вищенаведеної формули для коренів , поклавши в ній .

    Таким чином, при рівняння має один корінь (а точніше, два однакових корені).

  5. . В такому випадку рівняння не матиме дійсних коренів, бо будь-який вираз у квадраті завжди є невід’ємним.
Визначення
За знаком виразу можна визначити, скільки дійсних коренів матиме рівняння . Цей вираз називають дискримінантом.
  • при рівняння має два дійсних корені;
  • при рівняння має один дійсний корінь (два однакових);
  • при рівняння не має дійсних коренів.
Визначення
Формула коренів квадратного рівняння:

Приклад
  1. Розв’язати рівняння: .
  2. Розв’язок.

    Шукаємо дискримінант: , отже рівняння має два дійсних корені:

    ;

    Відповідь. ,

  3. Розв’язати рівняння: .
  4. Розв’язок.

    Шукаємо дискримінант: , отже, рівняння має один дійсний корінь:

    Відповідь.

  5. Розв’язати рівняння: .
  6. Розв’язок.

    Шукаємо дискримінант: , отже, рівняння не має дійсних коренів.

    Відповідь.

Розв'язати рівняння:

Перенесемо доданки з правої частини рівняння в ліву:

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

Через те, що дискримінант більше нуля, квадратне рівняння має два дійсних кореня:

Розв'язати рівняння:

Перенесемо доданки з правої частини рівняння в ліву:

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

Через те, що дискримінант менше нуля, квадратне рівняння не має дійсних коренів.