Теорема Вiєта

Можна поділити всі коефіцієнти квадратного рівняння на старший коефіцієнт : . Таке рівняння називають зведеним.

Визначення
Зведене квадратне рівняння — квадратне рівняння, у якого коефіцієнт при рівний одиниці, тобто .

Наприклад: ;

У пункті 6.3.4 Факторизацiя квадратного рiвняння (розкладання на множники) було виведено тотожність .

Якщо розкрити дужки у правій частині тотожності:

Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях , отримуємо такі співвідношення:

Ці тотожності вперше отримав Франсуа Вієт у XVI ст., вони лежать в основі теореми Вієта.

Теорема Вієта
Сума коренів квадратного рівняння рівна коефіцієнту при , взятому з протилежним знаком та поділеному на коефіцієнт при ; добуток коренів рівний вільному доданку, поділеному на коефіцієнт при :

Теорема (обернена до т. Вієта)

Якщо для двох чисел та виконуються рівності:

,

то числа та є коренями квадратного рівняння .

Приклад

Знайти , де — корені рівняння .

Розв’язок.

За теоремою Вієта: .

Запишемо з формул скороченого множення рівність . Якщо додати та відняти та скористатися формулою квадрату суми, маємо:

Підставивши числа, знайдені за т. Вієта, маємо

Таким чином, .

Відповідь. .

Чому дорівнює модуль різниці коренів рівняння ?

Перенесемо всі доданки у ліву частину рівняння:

За теоремою Вієта знаходимо корені рівняння:

Тоді модуль різниці коренів дорівнює: