Квадратне рівняння з параметрами

Пригадаємо з попередньої лекції, що у квадратному рівнянні дискримінант визначено як:

  • при рівняння має два дійсних корені: ;
  • при рівняння має один дійсний корінь (два однакових): ;
  • при рівняння не має дійсних коренів: .

У квадратних рівняннях з параметрами «контрольними» є значення параметра, яке дає нульовий старший коефіцієнт (при ), та нульовий дискримінант (від нього залежить кількість коренів).

Приклад

Знайти значення параметра , за яких рівняння має тільки один корінь.

Розв'язок.

Знайдемо «контрольні» значення параметра , за яких коефіцієнт при стане рівним нулеві:

Розв’яжемо рівняння при . Рівняння стане лінійним і матиме один корінь:

Якщо , то рівняння є квадратним. Шукаємо дискримінант:

Дискримінант рівний нулеві за іншого «контрольного» значення параметра .

Саме коли рівняння теж має один корінь.

Відповідь. або .

Приклад

Розв’язати рівняння .

Розв'язок.

Знайдемо «контрольні» значення параметра , за яких коефіцієнт при стане рівним нулеві:

Розв’яжемо рівняння при :

Розв’яжемо рівняння при :

.

Тепер розглянемо випадок — рівняння є квадратним.

Шукаємо дискримінант:

Знаходимо «контрольну» точку з умови :

Але вже накладена умова , тому .

Дискримінант може бути лише більшим або меншим від нуля (пам’ятаємо при цьому, що ):

  • , і рівняння має два дійсних корені:

  • , і рівняння дійсних коренів не має: .

    У відповіді об’єднаємо це з випадком , де теж

Відповідь. при :

при :

при :