Лінійне рівняння з параметрами

В загальному випадку лінійне рівняння теж є рівнянням з параметрами i .

Це рівняння задає множину лінійних рівнянь (для всіх значень параметрів).

Наприклад: .

Насправді це рівняння з параметрами було вже розв’язане в попередній лекції:

  • при , рівняння має один корінь: ;
  • при , рівняння не має жодного кореня: ;
  • при , рівняння має безліч коренів: .

В процесі розв’язання рівняння були розглянуті різні значення параметрів та знайдені для них корені.

Для лінійного рівняння «контрольним» є значення параметра, яке дає нульовий коефіцієнт при змінній (в даному прикладі це ).

Приклад

Розв’язати рівняння .

Розв'язок.

Тут нічого складного, «контрольних» значень немає, просто виражаємо :

Відповідь.

Приклад

1. Розв’язати рівняння .

Розв'язок.

Знайдемо «контрольні» значення параметра , при яких коефіцієнт при стане рівним нулеві:

Розв’яжемо рівняння при :

Розв'яжемо рівняння при :

Розв'яжемо рівняння при :

Записуємо відповідь, вказавши всі корені та значення параметрів, за яких ці корені знайдені.

Відповідь. при ,

при ,

2. Розв’язати рівняння .

Розв'язок.

Знайдемо «контрольні» значення параметра , за яких коефіцієнт при стане рівним нулеві:

Розв’яжемо рівняння при :

Розв'яжемо рівняння при :

Розкладемо чисельник на множники та скоротимо на , бо :

Записуємо відповідь, вказавши всі корені та значення параметрів, за яких ці корені знайдені.

Відповідь. при ,

при ,