Показникові рівняння

Визначення
Показникове рівняння — це рівняння, що містить змінну в показнику степеня.

Наприклад: ; ;

Дуже часто використовують метод зведення до однієї основи. Розпочнемо з простого рівняння: . Якщо уважно подивитись, то праву частину можна переписати у вигляді . Тепер, як ми звели всі доданки до однієї основи можна скористатись таким правилом: два степеневих вирази рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їхні основи та показники степеня. Основи вже є однаковими, тому можна записати рівність показників степеня: звідки знаходимо

Поглянемо на інше рівняння: Це рівняння можна звести до спільної основи . Рівняння можна переписати як . В результаті все спрощується за таким самим принципом, прирівнюємо показники степеня виразів з однаковими основами: Звідки дістаємо відповідь . Загальний принцип розв’язання показникових рівнянь полягає в логарифмуванні (див. Лекцію 5) обох частин рівняння. Основу обирають такою, аби позбутися змінної в показнику степеня.

Приклад
Розв’язати рівняння

Розв’язок

Звести до однієї основи тут не вийде, тому застосовуємо логарифмування:
Вихідне рівняння
Логарифмуємо обидві частини за основою
Виписуємо показник підлогарифмічного виразу
Cпрощуємо
Залишаємо всі доданки з в лівій частині
Виносимо за дужки
Ділимо обидві частини на

Вiдповiдь.

Рівносильний перехід
В загальному випадку можна записати такий рівносильний перехід:

при цьому потрібно пам’ятати, що , інакше перехід не можна назвати рівносильним і таке рівняння не матиме коренів.
Приклад
Розв’язати рівняння .

Розв’язок.

Звести до однієї основи, тому скористаємось рівносильним переходом:

Вихідне рівняння
Розкриємо дужки в правій частині рівняння
Залишаємо всі доданки з 𝑥 в лівій частині
Виносимо 𝑥 за дужки
Ділимо обидві частини на

Вiдповiдь. .

Разом зі зведенням до спільної основи дуже часто користуються методом заміни змінної. Рівняння зводять до спільної основи, яку замінюють на іншу змінну. Далі рівняння вже не є показниковим і легко розв’язується.

Приклад
Розв’язати рівняння

Розв’язок.

Вихідне рівняння
Перепишемо в іншому вигляді
Ділимо обидві частини на
Спрощуємо
Робимо заміну
Перепишем всі доданки з однієї сторони

Розв’язуємо квадратне рівняння
Повертаємось до попередньої змінної
Зводимо до спільної основи

Позбуваємось показника степеня

Вiдповiдь. .

Приклад
Розв’язати рівняння

Розв’язок.

Вихідне рівняння
Перепишемо в іншому вигляді
Робимо заміну
Розв’язуємо квадратне рівняння
Повертаємось до попередньої змінної
Зводимо до спільної основи
Позбуваємось показника степеня та розв’язуємо дробово-раціональні рівняння

Вiдповiдь. .